Determine se o conjunto J=(ll0 & 0 0 & r) é um ideal no anel M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto 0 & 0 0 & r é um ideal no anel , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra, especificamente sobre anéis e ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é um subanel e que, ao ser multiplicado por qualquer elemento do anel, o resultado ainda está no ideal. No caso de matrizes, isso significa que se tomarmos qualquer matriz do ideal e multiplicarmos por qualquer matriz de , o resultado deve permanecer em .

Passo 3

Vamos verificar se 0 & 0 0 & r é um subanel de . Para ser um subanel, precisa ser não vazio, fechar-se sob adição e fechamento sob multiplicação.
Primeiro, não está vazio porque contém pelo menos a matriz .

Passo 4

Agora, vamos ver se 0 & 0 0 & r + 0 & 0 0 & s = 0 & 0 0 & r+s é fechado sob adição. Pegue duas matrizes quaisquer de :
Como a soma também é uma matriz de , o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

Em seguida, verificamos o fechamento sob multiplicação. Pegando duas matrizes de 0 & 0 0 & r cdot 0 & 0 0 & s = 0 & 0 0 & rs :
Como o produto também está em , o conjunto é fechado sob multiplicação.

Passo 6

Até aqui, mostramos que é um subanel de . Agora, precisamos verificar a condição adicional para ser um ideal: multiplicar qualquer elemento de por qualquer matriz de e ver se o resultado fica em .

Passo 7

Vamos multiplicar uma matriz genérica de a & b c & d por uma matriz qualquer de 0 & 0 0 & r . Seja A cdot B = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot r c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot r = 0 & br 0 & dr qualquer matriz de e de .
Multiplicando :
Para que esteja em , a única entrada não nula deveria ser a posição (2,2). Porém, na matriz resultante, a entrada (1,2) é , que não é necessariamente zero.

Passo 8

Se considerarmos , então pode ser diferente de zero, o que significa que não está necessariamente em . Portanto, não satisfaz a condição necessária para ser um ideal.

Resposta

O conjunto não é um ideal no anel .

Exercícios relacionados