Determine se o conjunto
é um ideal no anel
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto
é um ideal no anel
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra, especificamente sobre anéis e ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é um subanel e que, ao ser multiplicado por qualquer elemento do anel, o resultado ainda está no ideal. No caso de matrizes, isso significa que se tomarmos qualquer matriz do ideal
e multiplicarmos por qualquer matriz de
, o resultado deve permanecer em
.
Passo 3
Vamos verificar se
é um subanel de
. Para ser um subanel,
precisa ser não vazio, fechar-se sob adição e fechamento sob multiplicação.
Primeiro,
não está vazio porque contém pelo menos a matriz
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Pegue duas matrizes quaisquer de
:
Como a soma também é uma matriz de
, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
Em seguida, verificamos o fechamento sob multiplicação. Pegando duas matrizes de
:
Como o produto também está em
, o conjunto é fechado sob multiplicação.
Passo 6
Até aqui, mostramos que
é um subanel de
. Agora, precisamos verificar a condição adicional para ser um ideal: multiplicar qualquer elemento de
por qualquer matriz de e ver se o resultado fica em
.
Passo 7
Vamos multiplicar uma matriz genérica de
por uma matriz qualquer de
. Seja
qualquer matriz de
e
de
.
Multiplicando
:
Para que
esteja em
, a única entrada não nula deveria ser a posição (2,2). Porém, na matriz resultante, a entrada (1,2) é
, que não é necessariamente zero.
Passo 8
Se considerarmos
, então
pode ser diferente de zero, o que significa que
não está necessariamente em
. Portanto,
não satisfaz a condição necessária para ser um ideal.
Resposta
O conjunto
não é um ideal no anel
.
Exercícios relacionados
Seja
um ideal em
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Seja
um ideal de
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Se
é um ideal em um corpo
, prove que
ou
. [Sugestão: Use o Exercício Anterior]
Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©