Liste os ideias principais de cada anel:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para listar as ideias principais de cada anel: , e . Estamos tratando de Teoria dos Anéis na matemática, que estuda estruturas algébricas chamadas anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos como campo, domínio de integridade e ideais.

Passo 2

Vamos começar com . Esse anel consiste nos números de 0 a 4, onde a adição e a multiplicação são feitas módulo 5. Como 5 é um número primo, tem algumas propriedades especiais.

Passo 3

A principal ideia de é que ele é um corpo. Isso significa que além de ser um anel, todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, em , o inverso de 2 é 3, porque . Essa propriedade só acontece quando o módulo é primo.

Passo 4

Agora, vamos para . Esse anel inclui os números de 0 a 8 com operações módulo 9. Aqui, 9 não é primo, então as coisas mudam um pouco.

Passo 5

A principal ideia de é que ele não é um corpo, já que nem todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, 3 em não tem inverso porque não existe um número que multiplicado por 3 dê 1 módulo 9. Além disso, tem ideais não triviais, como o ideal gerado por 3, que são subconjuntos que respeitam a estrutura do anel.

Passo 6

Por fim, vamos discutir . Este anel inclui os números de 0 a 11 com operações módulo 12. Como 12 também não é primo, ele compartilha algumas características com , mas com mais complexidade.

Passo 7

A principal ideia de é que ele não é um corpo e possui múltiplos ideais não triviais, como os ideais gerados por 2, 3, 4 e 6. Isso significa que há várias maneiras de dividir o anel em partes menores que ainda mantêm a estrutura de anel. Além disso, não é um domínio de integridade porque existem elementos não nulos cujo produto é zero, como .

Resposta

Resumindo:
  • : É um corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
  • : Não é um corpo, possui ideais não triviais e nem todo elemento tem inverso.
  • : Não é um corpo, tem múltiplos ideais não triviais e não é um domínio de integridade.

Exercícios relacionados

Se é um ideal em um corpo , prove que ou . [Sugestão: Use o Exercício Anterior]
Determine se o conjunto é um ideal no anel .
Seja um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em , prove que a interseção de todos os é um ideal.
Mostre que em , em que é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e é o ideal principal gerado pelo 2.