Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para listar as ideias principais de cada anel:
,
e
. Estamos tratando de Teoria dos Anéis na matemática, que estuda estruturas algébricas chamadas anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos como campo, domínio de integridade e ideais.
Passo 2
Vamos começar com
. Esse anel consiste nos números de 0 a 4, onde a adição e a multiplicação são feitas módulo 5. Como 5 é um número primo,
tem algumas propriedades especiais.
Passo 3
A principal ideia de
é que ele é um corpo. Isso significa que além de ser um anel, todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, em
, o inverso de 2 é 3, porque
. Essa propriedade só acontece quando o módulo é primo.
Passo 4
Agora, vamos para
. Esse anel inclui os números de 0 a 8 com operações módulo 9. Aqui, 9 não é primo, então as coisas mudam um pouco.
Passo 5
A principal ideia de
é que ele não é um corpo, já que nem todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, 3 em
não tem inverso porque não existe um número que multiplicado por 3 dê 1 módulo 9. Além disso,
tem ideais não triviais, como o ideal gerado por 3, que são subconjuntos que respeitam a estrutura do anel.
Passo 6
Por fim, vamos discutir
. Este anel inclui os números de 0 a 11 com operações módulo 12. Como 12 também não é primo, ele compartilha algumas características com
, mas com mais complexidade.
Passo 7
A principal ideia de
é que ele não é um corpo e possui múltiplos ideais não triviais, como os ideais gerados por 2, 3, 4 e 6. Isso significa que há várias maneiras de dividir o anel em partes menores que ainda mantêm a estrutura de anel. Além disso,
não é um domínio de integridade porque existem elementos não nulos cujo produto é zero, como
.
Resposta
Resumindo:
-
: É um corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. -
: Não é um corpo, possui ideais não triviais e nem todo elemento tem inverso. -
: Não é um corpo, tem múltiplos ideais não triviais e não é um domínio de integridade.
Exercícios relacionados
Se
é um ideal em um corpo
, prove que
ou
. [Sugestão: Use o Exercício Anterior]
Determine se o conjunto
é um ideal no anel
.
Seja
um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em
, prove que a interseção de todos os
é um ideal.
Se
Mostre que
em
, em que
é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e
é o ideal principal gerado pelo 2.