Se
é um ideal em um corpo
, prove que
ou
. [Sugestão: Use o Exercício Anterior]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se
é um ideal em um corpo
, então
ou é o conjunto só com o zero,
, ou é todo o corpo
. Estamos trabalhando com Teoria dos Anéis, especificamente com ideais em corpos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como ele se comporta em um corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é fechado sob adição e multiplicação pelo anel inteiro. No caso de um corpo
, que é um tipo especial de anel onde todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo, os únicos ideais possíveis costumam ser bem restritos.
Passo 3
Agora, suponha que temos um ideal
em
. Queremos mostrar que
só pode ser
ou
inteiro. Para isso, vamos considerar dois casos:
-
Caso
seja apenas o zero: Nesse caso, estamos prontos, pois já mostramos que . -
Caso
contenha algum elemento diferente de zero: Vamos pegar um elemento não nulo .
Passo 4
Como
é um corpo, esse elemento
tem um inverso multiplicativo, ou seja, existe
tal que
. Agora, como
é um ideal e contém
, também deve conter
.
Passo 5
Se
contém
, então para qualquer elemento
, temos
. Como
e
é fechado sob multiplicação pelo anel inteiro
, concluímos que todo
também está em
. Portanto,
.
Resposta
Assim, mostramos que se
é um ideal em um corpo
, então
ou é apenas
ou é todo o corpo
.
Exercícios relacionados
Determine se o conjunto
é um ideal no anel
.
Seja
um ideal em
. Prove que o conjunto
é um ideal de
.
Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Seja
um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em
, prove que a interseção de todos os
é um ideal.
Se