Se é um ideal em um corpo , prove que ou . [Sugestão: Use o Exercício Anterior]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se é um ideal em um corpo , então ou é o conjunto só com o zero, , ou é todo o corpo . Estamos trabalhando com Teoria dos Anéis, especificamente com ideais em corpos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como ele se comporta em um corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é fechado sob adição e multiplicação pelo anel inteiro. No caso de um corpo , que é um tipo especial de anel onde todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo, os únicos ideais possíveis costumam ser bem restritos.

Passo 3

Agora, suponha que temos um ideal em . Queremos mostrar que só pode ser ou inteiro. Para isso, vamos considerar dois casos:
  1. Caso seja apenas o zero: Nesse caso, estamos prontos, pois já mostramos que .
  2. Caso contenha algum elemento diferente de zero: Vamos pegar um elemento não nulo .

Passo 4

Como é um corpo, esse elemento tem um inverso multiplicativo, ou seja, existe tal que . Agora, como é um ideal e contém , também deve conter .

Passo 5

Se contém , então para qualquer elemento , temos . Como e é fechado sob multiplicação pelo anel inteiro , concluímos que todo também está em . Portanto, .

Resposta

Assim, mostramos que se é um ideal em um corpo , então ou é apenas ou é todo o corpo .

Exercícios relacionados

Determine se o conjunto é um ideal no anel .
Seja um ideal em . Prove que o conjunto
é um ideal de .
Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
Seja um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em , prove que a interseção de todos os é um ideal.