Determine se o conjunto das matrizes na forma [lla & b c & d], tais que a+b+c+d=0 é subespaço de M2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto das matrizes do tipo [lla & b c & d], onde a + b + c + d = 0, é um subespaço de M2 times 2, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. A matéria aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar das condições que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no nosso conjunto. O vetor zero em M2 times 2 é a matriz [ll0 & 0 0 & 0]. Vamos ver se ela satisfaz a condição a + b + c + d = 0:
0 + 0 + 0 + 0 = 0
Sim, dá zero! Então, o vetor zero está no conjunto. Massa!

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar duas matrizes que satisfazem a + b + c + d = 0 e somar elas, o resultado também deve satisfazer essa condição.
Seja duas matrizes no conjunto:
A = [lla & b c & d], a + b + c + d = 0
B = [lla' & b' c' & d'], a' + b' + c' + d' = 0
Somando elas:
A + B = [lla + a' & b + b' c + c' & d + d']
Vamos verificar a condição:
(a + a') + (b + b') + (c + c') + (d + d') = (a + b + c + d) + (a' + b' + c' + d') = 0 + 0 = 0
Então, a soma também está no conjunto. Show!

Passo 4

Por último, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado ainda deve estar no conjunto.
Seja uma matriz no conjunto:
A = [lla & b c & d], a + b + c + d = 0
E um escalar k. Multiplicando por k:
kA = [llka & kb kc & kd]
Vamos verificar a condição:
ka + kb + kc + kd = k(a + b + c + d) = k cdot 0 = 0
Então, a matriz multiplicada por k também está no conjunto. Demorou!

Resposta

Sim, o conjunto das matrizes [lla & b c & d] com a + b + c + d = 0 é um subespaço de M2 times 2.

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