Determine se o conjunto das matrizes na forma
, tais que
é subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto das matrizes do tipo
, onde
, é um subespaço de
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. A matéria aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar das condições que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no nosso conjunto. O vetor zero em
é a matriz
. Vamos ver se ela satisfaz a condição
:
Sim, dá zero! Então, o vetor zero está no conjunto. Massa!
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar duas matrizes que satisfazem
e somar elas, o resultado também deve satisfazer essa condição.
Seja duas matrizes no conjunto:
Somando elas:
Vamos verificar a condição:
Então, a soma também está no conjunto. Show!
Passo 4
Por último, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado ainda deve estar no conjunto.
Seja uma matriz no conjunto:
E um escalar
. Multiplicando por
:
Vamos verificar a condição:
Então, a matriz multiplicada por
também está no conjunto. Demorou!
Resposta
Sim, o conjunto das matrizes
com
é um subespaço de
.