Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Seja I=8 k mid k in Z. Encontre f(I).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por . Além disso, temos o conjunto . Nosso objetivo é encontrar a imagem de pela função , ou seja, .
Nesse exercício, vamos usar conceitos de funções modulares e conjuntos imagem. Vamos precisar aplicar aritmética modular e entender como diferentes valores de em se comportam quando passados pela função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto representa todos os múltiplos de 8. Ou seja, qualquer número que seja um múltiplo de 8 está em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a função f(x) = f(8k) = 4 cdot (8k) + 3 = 32k + 3 a um elemento qualquer de . Seja , onde é um número inteiro. Então:

Passo 4

Vamos simplificar 32 div 12 = 2 com resto 8 Rightarrow 32 equiv 8 mod 12 no módulo 12. Primeiro, calculamos 32k + 3 equiv 8k + 3 mod 12 :
Então:
Portanto, em .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar todos os possíveis valores de 8 cdot 0 + 3 = 3 Rightarrow 3 mod 12 em 8 cdot 1 + 3 = 11 Rightarrow 11 mod 12 quando 8 cdot 2 + 3 = 19 equiv 7 mod 12 Rightarrow 7 mod 12 varia nos inteiros. Vamos calcular alguns valores para identificar o padrão:
  • Para 8 cdot 3 + 3 = 27 equiv 3 mod 12 Rightarrow 3 mod 12 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Percebemos que os valores começam a se repetir a cada 3 passos: 3, 11, 7, 3, 11, 7, …

Passo 6

Com base nos cálculos acima, concluímos que os únicos valores distintos que pode assumir em são 3, 7 e 11. Isso significa que, independentemente do valor de , a imagem será sempre um desses três números.

Resposta

em .

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