(5 pontos) Determine a distância entre A=(1,-2,2) e a reta s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto x = 2 + 2t y = 5 + 3t z = 5 + t e a reta que é descrita pelas equações parametrizadas:
Esse problema é da área de Geometria Analítica, especificamente envolvendo vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial (ou cruz) e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que esteja na reta P = (2 + 2 cdot 0, 5 + 3 cdot 0, 5 + 1 cdot 0) = (2, 5, 5) . Normalmente, escolhemos o ponto correspondente quando . Substituindo nas equações da reta, temos:
Então, é um ponto na reta .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor que vai do ponto AP = P - A = (2 - 1, 5 - (-2), 5 - 2) = (1, 7, 3) até o ponto 1 7 3 . Esse vetor é dado por:
Portanto, .

Passo 4

Em seguida, precisamos identificar o vetor diretor da reta v = 2 3 1 . Observando as equações param��tricas, vemos que os coeficientes de nos dão o vetor diretor:

Passo 5

Para encontrar a distância entre o ponto distância = ||AP times v||||v|| e a reta , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial:
â
Aqui, representa o produto vetorial, e representa a norma (ou comprimento) do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k 1 & 7 & 3 2 & 3 & 1 = i(7 cdot 1 - 3 cdot 3) - j(1 cdot 1 - 3 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 7 cdot 2) :
= i(7 - 9) - j(1 - 6) + k(3 - 14) = i(-2) - j(-5) + k(-11)
= -2 5 -11

Passo 7

Agora, calculamos a norma desse vetor:
||AP times v|| = raiz(-2)^2 + 5^2 + (-11)^2 = raiz4 + 25 + 121 = raiz150 = 5raiz6

Passo 8

Também precisamos da norma do vetor diretor ||v|| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
distância = 5raiz6raiz14 = 5raiz6raiz14 cdot raiz14raiz14 = 5raiz8414 = 5 cdot 2raiz2114 = 10raiz2114 = 5raiz217 â

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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