Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto x = 2 + 2t y = 5 + 3t z = 5 + t e a reta que é descrita pelas equações parametrizadas:
Esse problema é da área de Geometria Analítica, especificamente envolvendo vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial (ou cruz) e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que esteja na reta P = (2 + 2 cdot 0, 5 + 3 cdot 0, 5 + 1 cdot 0) = (2, 5, 5) . Normalmente, escolhemos o ponto correspondente quando . Substituindo nas equações da reta, temos:
Então, é um ponto na reta .
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor que vai do ponto AP = P - A = (2 - 1, 5 - (-2), 5 - 2) = (1, 7, 3) até o ponto 1 7 3 . Esse vetor é dado por:
Portanto, .
Passo 4
Em seguida, precisamos identificar o vetor diretor da reta v = 2 3 1 . Observando as equações param��tricas, vemos que os coeficientes de nos dão o vetor diretor:
Passo 5
Para encontrar a distância entre o ponto distância = ||AP times v||||v|| e a reta , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial:
â
Aqui, representa o produto vetorial, e representa a norma (ou comprimento) do vetor.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k 1 & 7 & 3 2 & 3 & 1 = i(7 cdot 1 - 3 cdot 3) - j(1 cdot 1 - 3 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 7 cdot 2) :