No espaço vetorial M2(R) seja M=(lla & b c & d). Determine a matriz do operador linear f: M2(R) M2(R) dado por f(X)=M X-X M, em relação à base canônica de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre encontrar a matriz de um operador linear que age em matrizes reais. O operador é definido por , onde é uma matriz específica dada no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender operações com matrizes, operadores lineares e como representar esses operadores em relação a uma base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base canônica do espaço vetorial E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1 . Essa base é composta pelas quatro matrizes elementares:
Essas matrizes formam a base canônica porque qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear delas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador a cada uma dessas matrizes da base. Ou seja, vamos calcular , , e . Isso nos ajudará a entender como age em qualquer matriz do espaço.

Passo 4

Vamos começar calculando f(E11) = M E11 - E11 M :
M = a & b c & d , E11 = 1 & 0 0 & 0
Substituindo M E11 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 0 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot 0 = a & 0 c & 0 e E11 M = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d = a & b 0 & 0 :
f(E11) = a & 0 c & 0 - a & b 0 & 0 = 0 & -b c & 0
Multiplicando as matrizes:
Então:

Passo 5

Fazendo o mesmo para f(E12) = M E12 - E12 M :
M E12 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot 0 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot 0 + d cdot 0 = b & 0 d & 0
E12 M = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d = c & d 0 & 0
f(E12) = b & 0 d & 0 - c & d 0 & 0 = b - c & -d d & 0
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular f(E21) = M E21 - E21 M :
M E21 = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 1 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 1 + d cdot 0 = 0 & a 0 & c
E21 M = 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d = 0 & 0 a & b
f(E21) = 0 & a 0 & c - 0 & 0 a & b = 0 & a -a & c - b
Então:

Passo 7

Por fim, vamos calcular f(E22) = M E22 - E22 M :
M E22 = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 1 c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot 1 = 0 & b 0 & d
E22 M = 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = 0 & 0 c & d
f(E22) = 0 & b 0 & d - 0 & 0 c & d = 0 & b -c & 0
Então:

Passo 8

Agora que temos f(E11) = 0E11 - bE12 + cE21 + 0E22 , f(E12) = (b - c)E11 - dE12 + dE21 + 0E22 , f(E21) = 0E11 + aE12 - aE21 + (c - b)E22 e f(E22) = 0E11 + bE12 - cE21 + 0E22 , vamos expressar cada um deles como combinações lineares da base canônica:

Passo 9

Cada coluna da matriz do operador 0 & b - c & 0 & 0 -b & -d & a & b c & d & -a & -c 0 & 0 & c - b & 0 corresponde aos coeficientes dessas combinações lineares. Organizando os coeficientes em ordem das bases , temos:

Resposta

A matriz do operador linear 0 & b - c & 0 & 0 -b & -d & a & b c & d & -a & -c 0 & 0 & c - b & 0 em relação à base canônica de é:

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(5 pontos) Determine a distância entre A=(1,-2,2) e a reta s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t .
Determine se o conjunto das matrizes na forma [lla & b c & d], tais que a+b+c+d=0 é subespaço de M2 times 2.
Verifique que W é um subespaço de V. Em cada caso, suponha que V tenha as operações usuais. E é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com determinantes iguais a 1.
Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Obter f^-1(1, 3, 4, 8).