No espaço vetorial seja . Determine a matriz do operador linear dado por , em relação à base canônica de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre encontrar a matriz de um operador linear que age em matrizes reais. O operador é definido por , onde é uma matriz específica dada no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender operações com matrizes, operadores lineares e como representar esses operadores em relação a uma base canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a base canônica do espaço vetorial . Essa base é composta pelas quatro matrizes elementares:
Essas matrizes formam a base canônica porque qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador a cada uma dessas matrizes da base. Ou seja, vamos calcular , , e . Isso nos ajudará a entender como age em qualquer matriz do espaço.
Passo 4
Vamos começar calculando :
Substituindo e :
Multiplicando as matrizes:
Então:
Passo 5
Fazendo o mesmo para :
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Então:
Passo 7
Por fim, vamos calcular :
Então:
Passo 8
Agora que temos , , e , vamos expressar cada um deles como combinações lineares da base canônica:
Passo 9
Cada coluna da matriz do operador corresponde aos coeficientes dessas combinações lineares. Organizando os coeficientes em ordem das bases , temos:
Resposta
A matriz do operador linear 0 & b - c & 0 & 0 -b & -d & a & b c & d & -a & -c 0 & 0 & c - b & 0 em relação à base canônica de é: