Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Vamos achar as raízes da equação característica. Assumimos uma solução da forma , então substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
(dupla raiz)
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Usaremos o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano dessas soluções:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de e :

Passo 5

Integramos e para encontrar e :

Passo 6

Finalmente, a solução particular é dada por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
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Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
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