Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Vamos achar as raízes da equação característica. Assumimos uma solução da forma , então substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
(dupla raiz)
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Usaremos o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano dessas soluções: