Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Vamos achar as raízes da equação característica. Assumimos uma solução da forma
, então substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Usaremos o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano
dessas soluções:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas de
e
:
Passo 5
Integramos
e
para encontrar
e
:
Passo 6
Finalmente, a solução particular
é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.