Seja varphin a sequência de funções definidas por varphi0(x)=0, varphin(x)=1+integral0^x[varphin-1(t)]^2 d t Mostre que para todo n in N, varphin é um polinômio de grau 2^n-1-1, cujos coeficientes estão em [0,1].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções varphin definidas por:
varphi0(x) = 0, varphin(x) = 1 + integral0^x [varphin-1(t)]^2 dt
O objetivo é mostrar que, para todo número natural n, a função varphin é um polinômio cujo grau é 2^n-1 - 1 e que todos os seus coeficientes estão entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de indução matemática e propriedades de polinômios.

Passo 2

Vamos começar verificando o caso base, ou seja, n=1. Substituindo n=1 na definição da sequência:
varphi1(x) = 1 + integral0^x [varphi0(t)]^2 dt
Sabemos que varphi0(x) = 0, então:
varphi1(x) = 1 + integral0^x 0^2 dt = 1 + integral0^x 0 dt = 1 + 0 = 1
Portanto, varphi1(x) = 1 é um polinômio de grau 2^1-1 - 1 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0, que confirma o caso base.

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum n = k, ou seja, que varphik(x) é um polinômio de grau 2^k-1 - 1 com coeficientes em [0,1]. Queremos mostrar que isso implica que varphik+1(x) também é um polinômio de grau 2^(k+1)-1 - 1 = 2^k - 1 com coeficientes em [0,1].

Passo 4

Segundo a definição da sequência:
varphik+1(x) = 1 + integral0^x [varphik(t)]^2 dt
Como varphik(x) é um polinômio de grau 2^k-1 - 1, seu quadrado [varphik(t)]^2 será um polinômio de grau 2 times (2^k-1 - 1) = 2^k - 2. A integral de um polinômio de grau m é um polinômio de grau m+1. Portanto:
integral0^x [varphik(t)]^2 dt
será um polinômio de grau (2^k - 2) + 1 = 2^k - 1.

Passo 5

Somando 1 a esse polinômio de grau 2^k - 1 não altera o grau, pois 1 é um polinômio de grau 0 e o termo de maior grau permanece 2^k - 1. Assim, varphik+1(x) é um polinômio de grau 2^k - 1, que é exatamente 2^(k+1)-1 - 1.

Passo 6

Quanto aos coeficientes, como varphik(x) tem todos os coeficientes em [0,1], ao elevar ao quadrado, cada termo permanecem no intervalo [0,1]. A integral de um polinômio com coeficientes em [0,1] também terá coeficientes em [0,1], e somando 1 mantém essa propriedade. Portanto, todos os coeficientes de varphik+1(x) estão em [0,1].

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo n in N, a função varphin(x) é um polinômio de grau 2^n-1 - 1 com coeficientes em [0,1].

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