Seja
a sequência de funções definidas por
Mostre que para todo
,
é um polinômio de grau
, cujos coeficientes estão em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções
definidas por:
O objetivo é mostrar que, para todo número natural
, a função
é um polinômio cujo grau é
e que todos os seus coeficientes estão entre
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de indução matemática e propriedades de polinômios.
Passo 2
Vamos começar verificando o caso base, ou seja,
. Substituindo
na definição da sequência:
Sabemos que
, então:
Portanto,
é um polinômio de grau
, que confirma o caso base.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja, que
é um polinômio de grau
com coeficientes em
. Queremos mostrar que isso implica que
também é um polinômio de grau
com coeficientes em
.
Passo 4
Segundo a definição da sequência:
Como
é um polinômio de grau
, seu quadrado
será um polinômio de grau
. A integral de um polinômio de grau
é um polinômio de grau
. Portanto:
será um polinômio de grau
.
Passo 5
Somando
a esse polinômio de grau
não altera o grau, pois
é um polinômio de grau
e o termo de maior grau permanece
. Assim,
é um polinômio de grau
, que é exatamente
.
Passo 6
Quanto aos coeficientes, como
tem todos os coeficientes em
, ao elevar ao quadrado, cada termo permanecem no intervalo
. A integral de um polinômio com coeficientes em
também terá coeficientes em
, e somando
mantém essa propriedade. Portanto, todos os coeficientes de
estão em
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
, a função
é um polinômio de grau
com coeficientes em
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
as superfícies definidas por
e
, respectivamente.
a) Determine a equação do plano tangente a .
b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de e
em
.
c) Mostre que a reta tangente encontrada no item b) é tangente à superfície de equação no ponto
.
a) Determine a equação do plano tangente a
b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de
c) Mostre que a reta tangente encontrada no item b) é tangente à superfície de equação
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
a) parabola em
percorrida da direita à esquerda;
a) parabola
(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
b) ;
b)
Simplifique a fração
.