Seja a sequência de funções definidas por Mostre que para todo , é um polinômio de grau , cujos coeficientes estão em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas por:
O objetivo é mostrar que, para todo número natural , a função é um polinômio cujo grau é e que todos os seus coeficientes estão entre e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de indução matemática e propriedades de polinômios.

Passo 2

Vamos começar verificando o caso base, ou seja, . Substituindo na definição da sequência:
Sabemos que , então:
Portanto, é um polinômio de grau , que confirma o caso base.

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, que é um polinômio de grau com coeficientes em . Queremos mostrar que isso implica que também é um polinômio de grau com coeficientes em .

Passo 4

Segundo a definição da sequência:
Como é um polinômio de grau , seu quadrado será um polinômio de grau . A integral de um polinômio de grau é um polinômio de grau . Portanto:
será um polinômio de grau .

Passo 5

Somando a esse polinômio de grau não altera o grau, pois é um polinômio de grau e o termo de maior grau permanece . Assim, é um polinômio de grau , que é exatamente .

Passo 6

Quanto aos coeficientes, como tem todos os coeficientes em , ao elevar ao quadrado, cada termo permanecem no intervalo . A integral de um polinômio com coeficientes em também terá coeficientes em , e somando mantém essa propriedade. Portanto, todos os coeficientes de estão em .

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo , a função é um polinômio de grau com coeficientes em .

Exercícios relacionados

Sejam e as superfícies definidas por e , respectivamente.
a) Determine a equação do plano tangente a .
b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de e em .
c) Mostre que a reta tangente encontrada no item b) é tangente à superfície de equação no ponto .
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
a) parabola em percorrida da direita à esquerda;
(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
b) ;
Simplifique a fração .