Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que representa todos os pontos no plano que estão dentro do círculo de raio 1 (mas sem incluir a borda). O conteúdo que vamos usar aqui é sobre pontos de acumulação e conjuntos abertos e fechados. Para resolver isso, precisamos entender o que são pontos de acumulação e como eles se relacionam com o conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto é um ponto de acumulação de um conjunto se, em toda pequena vizinhança ao redor de , existem pontos de diferentes de . Isso significa que, se você pegar qualquer “zoom” em , sempre vai encontrar pontos de por perto.

Passo 3

Agora, olhando para o conjunto , percebemos que ele é um conjunto aberto porque não inclui a borda do círculo ( ). Em um conjunto aberto, todos os pontos são pontos de acumulação, mas também precisamos considerar os limites, ou seja, a borda do círculo.

Passo 4

Os pontos na borda do círculo, onde , não estão no conjunto , mas são pontos onde, se você fizer um “zoom” bem pequeno, sempre vai encontrar pontos de de ambos os lados da borda. Portanto, esses pontos também são pontos de acumulação de .

Passo 5

Juntando tudo isso, os pontos de acumulação de incluem todos os pontos dentro do círculo aberto e também todos os pontos na borda do círculo. Isso forma o fechamento do conjunto , que é um conjunto fechado incluindo a borda.

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação de é o conjunto fechado .

Exercícios relacionados

Seja uma função diferenciável e suponha que para todo .
Conclua que existe tal que .
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. e inteiros .
Determine:
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)