Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que representa todos os pontos no plano que estão dentro do círculo de raio 1 (mas sem incluir a borda). O conteúdo que vamos usar aqui é sobre pontos de acumulação e conjuntos abertos e fechados. Para resolver isso, precisamos entender o que são pontos de acumulação e como eles se relacionam com o conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto
é um ponto de acumulação de um conjunto
se, em toda pequena vizinhança ao redor de
, existem pontos de
diferentes de
. Isso significa que, se você pegar qualquer “zoom” em
, sempre vai encontrar pontos de
por perto.
Passo 3
Agora, olhando para o conjunto
, percebemos que ele é um conjunto aberto porque não inclui a borda do círculo (
). Em um conjunto aberto, todos os pontos são pontos de acumulação, mas também precisamos considerar os limites, ou seja, a borda do círculo.
Passo 4
Os pontos na borda do círculo, onde
, não estão no conjunto
, mas são pontos onde, se você fizer um “zoom” bem pequeno, sempre vai encontrar pontos de
de ambos os lados da borda. Portanto, esses pontos também são pontos de acumulação de
.
Passo 5
Juntando tudo isso, os pontos de acumulação de
incluem todos os pontos dentro do círculo aberto e também todos os pontos na borda do círculo. Isso forma o fechamento do conjunto
, que é um conjunto fechado incluindo a borda.
Resposta
O conjunto dos pontos de acumulação de
é o conjunto fechado
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Conclua que existe tal que
.
Conclua que existe
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
e
inteiros
.
Determine:
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
(b)