Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. e inteiros .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. O conjunto em questão é e inteiros. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e trabalhar com conceitos de análise matemática relacionados a conjuntos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa ponto de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto em um espaço topológico é aquele onde qualquer vizinhança ao redor dele contém pelo menos um ponto de diferente do próprio ponto. Em termos mais simples, significa que podemos encontrar pontos de arbitrariamente perto desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: e inteiros. Esse conjunto é formado por todos os pares de números reais onde tanto quanto são números inteiros. Ou seja, são todos os pontos com coordenadas inteiras no plano.

Passo 4

Vamos imaginar o plano cartesiano e marcar todos os pontos onde as coordenadas são inteiras. Esses pontos formam uma grade regular no plano, separados por distância 1 entre si tanto na horizontal quanto na vertical.

Passo 5

Para encontrar os pontos de acumulação desse conjunto, precisamos identificar todos os pontos no plano onde podemos “aproximar” indefinidamente pontos do conjunto dado. Ou seja, onde podemos encontrar pontos com coordenadas inteiras cada vez mais próximos.

Passo 6

Observando o conjunto, percebemos que os pontos com coordenadas inteiras estão isolados, ou seja, não há sequência desses pontos que convirja para um ponto específico diferente deles mesmos. Não existem pontos no plano onde uma sequência de pontos com coordenadas inteiras se aproxima arbitrariamente.

Passo 7

Portanto, não há pontos de acumulação no conjunto dado, já que não conseguimos encontrar nenhum ponto no plano que satisfaça a condição de ter pontos do conjunto arbitrariamente próximos a ele.

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação é vazio, ou seja, não existem pontos de acumulação para o conjunto dado.

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Seja uma função diferenciável e suponha que para todo .
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Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .