Seja uma função diferenciável e suponha que para todo .
Conclua que existe tal que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável, ou seja, podemos calcular sua derivada em qualquer ponto. A condição dada é que a derivada de em qualquer ponto é igual a mesmo, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que essa função pode ser escrita como , onde é uma constante real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A equação está dizendo que a taxa de variação de em qualquer ponto é igual ao próprio valor de nesse ponto.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial simples, onde procuramos uma função que, quando derivada, retorna ela mesma. Sabemos que a função exponencial tem essa propriedade. Vamos assumir que , onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra da derivada para exponenciais, temos:
De acordo com a condição dada , substituímos:

Passo 5

Podemos cancelar de ambos os lados (desde que e para todo ):
Isso nos mostra que precisa ser igual a 1 para que a igualdade seja verdadeira para todo .

Passo 6

Agora que sabemos que , substituímos de volta na expressão original de :
Onde é uma constante real que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial, mas como não foi dada nenhuma condição adicional, pode ser qualquer número real.

Resposta

Portanto, existe uma constante real tal que .

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Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. e inteiros .
Seja uma função diferenciável e suponha que para todo .
Mostre que a derivada da função é zero para todo .
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .
Determine: