Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Conclua que existe
tal que
.
Conclua que existe
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável, ou seja, podemos calcular sua derivada em qualquer ponto. A condição dada é que a derivada de
em qualquer ponto
é igual a
mesmo, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que essa função
pode ser escrita como
, onde
é uma constante real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A equação
está dizendo que a taxa de variação de
em qualquer ponto
é igual ao próprio valor de
nesse ponto.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial simples, onde procuramos uma função que, quando derivada, retorna ela mesma. Sabemos que a função exponencial tem essa propriedade. Vamos assumir que
, onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da derivada para exponenciais, temos:
De acordo com a condição dada
, substituímos:
Passo 5
Podemos cancelar
de ambos os lados (desde que
e
para todo
):
Isso nos mostra que
precisa ser igual a 1 para que a igualdade seja verdadeira para todo
.
Passo 6
Agora que sabemos que
, substituímos de volta na expressão original de
:
Onde
é uma constante real que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial, mas como não foi dada nenhuma condição adicional,
pode ser qualquer número real.
Resposta
Portanto, existe uma constante real
tal que
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
e
inteiros
.
Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Mostre que a derivada da função é zero para todo
.
Mostre que a derivada da função
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
.
Determine: