Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado por . Isso quer dizer que precisamos identificar todos os pontos onde, se a gente pegar um “pé de foto” bem pequeno ao redor, sempre vai ter outros pontos do conjunto ali dentro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise matemática sobre pontos de acumulação e conjuntos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto que estamos analisando: . Esse é um conjunto de todos os pares de números reais que, quando somados, dão pelo menos 1. Geometricamente, isso representa uma meia-plano no plano cartesiano, incluindo a reta onde .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto é de acumulação de um conjunto se, não importa o quão pequeno seja o raio que a gente escolher ao redor de , sempre vai ter pelo menos um ponto de diferente de dentro desse círculo. Em outras palavras, você nunca chega a um ponto final sem ter outros pontos do conjunto por perto.

Passo 4

Para determinar os pontos de acumulação do nosso conjunto, precisamos verificar quais pontos no plano satisfazem essa condição em relação ao conjunto . Como estamos lidando com uma meia-plano que inclui a fronteira , vamos analisar se todo ponto desse conjunto é um ponto de acumulação.

Passo 5

Vamos considerar um ponto qualquer no conjunto, ou seja, onde . Se a gente escolher qualquer raio positivo, não importa quão pequeno seja, sempre vai haver outros pontos no conjunto que estão dentro desse raio. Isso porque podemos mover um pouquinho em qualquer direção dentro do conjunto e ainda satisfazer . Isso vale tanto para pontos na fronteira ( ) quanto para pontos dentro da região ( ).

Passo 6

Além disso, não existem pontos fora desse conjunto que possam ser pontos de acumulação, porque se um ponto está fora de , então existe um raio suficientemente pequeno ao redor dele que não contém nenhum ponto do conjunto.

Resposta

Então, o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto é exatamente o próprio conjunto. Ou seja,

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