O gráfico da função
possui assíntotas horizontais? Se possui, quais são elas?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A pergunta é sobre o gráfico da função
e se esse gráfico tem assíntotas horizontais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limites, que nos ajuda a identificar comportamentos da função quando
tende a
ou
.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o domínio da função
. O denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada deve ser não negativo, já que a raiz de um número negativo não é um número real.
Temos:
- O denominador
não pode ser zero: . - Dentro da raiz,
.
Vamos resolver a inequação
:
Isso significa que o produto
deve ser maior ou igual a zero. Analisando os intervalos:
- Para
, ambos os fatores são negativos ou zero, então o produto é positivo. - Para
, um fator é positivo e o outro é negativo, então o produto é negativo. - Para
, ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, o domínio da função
é:
Passo 3
Agora, vamos investigar os limites da função
quando
tende a
e a
. As assíntotas horizontais são retas que a função se aproxima quando
cresce sem limites positivos ou negativos.
Limite quando
tende a
:
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o limite fica:
Como
tende a zero quando
tende a
, temos:
Limite quando
tende a
:
Aqui,
é negativo. Então, podemos escrever:
(aqui usamos que
já que
é negativo)
O limite fica:
Como
tende a zero quando
tende a
, temos:
Resposta
A função
possui duas assíntotas horizontais:
-
quando tende a -
quando tende a
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
.
Mostre que para todo
e todo
com
vale que
derivando ambas as expressões que aparecem na igualdade.
Determine:
Determine: