O gráfico da função possui assíntotas horizontais? Se possui, quais são elas?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A pergunta é sobre o gráfico da função e se esse gráfico tem assíntotas horizontais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limites, que nos ajuda a identificar comportamentos da função quando tende a ou .

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o domínio da função . O denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada deve ser não negativo, já que a raiz de um número negativo não é um número real.
Temos:
  • O denominador não pode ser zero: .
  • Dentro da raiz, .
Vamos resolver a inequação :
Isso significa que o produto deve ser maior ou igual a zero. Analisando os intervalos:
  • Para , ambos os fatores são negativos ou zero, então o produto é positivo.
  • Para , um fator é positivo e o outro é negativo, então o produto é negativo.
  • Para , ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos investigar os limites da função quando tende a e a . As assíntotas horizontais são retas que a função se aproxima quando cresce sem limites positivos ou negativos.
Limite quando tende a :
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o limite fica:
Como tende a zero quando tende a , temos:
Limite quando tende a :
Aqui, é negativo. Então, podemos escrever:
(aqui usamos que já que é negativo)
O limite fica:
Como tende a zero quando tende a , temos:

Resposta

A função possui duas assíntotas horizontais:
  • quando tende a
  • quando tende a

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Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .
Mostre que para todo e todo com vale que derivando ambas as expressões que aparecem na igualdade.
Determine:
Determine: