Seja f: R -> R uma função diferenciável e suponha que f'(x) = f(x) para todo x em R.
Mostre que a derivada da função g(x) = f(x) / e^x é zero para todo x em R.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função que é diferenciável e que satisfaz para todo . O exercício pede pra gente mostrar que a derivada da função é zero para todo . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente. A regra diz que se , então
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
  • . Mas sabemos que , então .
  • .

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Substituindo por :

Resposta

A derivada da função é zero para todo .

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