Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Mostre que a derivada da função
é zero para todo
.
Mostre que a derivada da função
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função
que é diferenciável e que satisfaz
para todo
. O exercício pede pra gente mostrar que a derivada da função
é zero para todo
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente. A regra diz que se
, então
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
. Mas sabemos que , então . -
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
por
:
Resposta
A derivada da função
é zero para todo
.
Exercícios relacionados
Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do
.
e
.
Determine:
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
e
inteiros
.
Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Conclua que existe tal que
.
Conclua que existe