Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais dos dois conjuntos são abertos no espaço
. Para isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto na matemática e como identificar isso usando desigualdades. Vamos precisar usar conceitos básicos de topologia e análise de conjuntos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto representa todos os pontos no plano
onde a soma das coordenadas
e
é maior que 3.
Um conjunto é considerado aberto se, para cada ponto dentro dele, dá para desenhar um “círculo” (ou bola aberta) ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. No caso de
, a desigualdade
define uma região que não inclui a linha onde
, ou seja, é uma “meia-plano” aberto. Isso significa que para qualquer ponto em
, podemos encontrar um pequeno círculo ao redor dele que ainda está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto
. Esse conjunto descreve todos os pontos no plano
que estão dentro de um círculo de raio 4 (já que
) sem incluir a borda do círculo.
Assim como no caso anterior,
é definido por uma desigualdade estrita (
), o que significa que nenhum ponto da borda está incluído. Portanto, para qualquer ponto dentro de
, podemos traçar um pequeno círculo ao redor dele que também estará totalmente dentro de
.
Resposta
Ambos os conjuntos
e
são abertos em
.
Exercícios relacionados
Determine:
Como usar somas de Riemann para encontrar valores aproximados de
, ou
em geral?
Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Mostre que a derivada da função é zero para todo
.
Mostre que a derivada da função
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
e
inteiros
.