Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do . e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais dos dois conjuntos são abertos no espaço . Para isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto na matemática e como identificar isso usando desigualdades. Vamos precisar usar conceitos básicos de topologia e análise de conjuntos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto representa todos os pontos no plano onde a soma das coordenadas e é maior que 3.
Um conjunto é considerado aberto se, para cada ponto dentro dele, dá para desenhar um “círculo” (ou bola aberta) ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. No caso de , a desigualdade define uma região que não inclui a linha onde , ou seja, é uma “meia-plano” aberto. Isso significa que para qualquer ponto em , podemos encontrar um pequeno círculo ao redor dele que ainda está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto . Esse conjunto descreve todos os pontos no plano que estão dentro de um círculo de raio 4 (já que ) sem incluir a borda do círculo.
Assim como no caso anterior, é definido por uma desigualdade estrita ( ), o que significa que nenhum ponto da borda está incluído. Portanto, para qualquer ponto dentro de , podemos traçar um pequeno círculo ao redor dele que também estará totalmente dentro de .

Resposta

Ambos os conjuntos e são abertos em .

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