Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
{(x, y) in R^2: x} e y racionais }

Passo 1

Beleza, então a gente tem um conjunto de pontos no plano onde tanto as coordenadas x quanto y são números racionais. A questão pede para a gente descobrir qual é o conjunto dos pontos de acumulação desse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ponto de acumulação e como funciona no contexto de números racionais e reais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é aquele onde, ao redor dele, sempre tem outros pontos do conjunto, não importa o quão pequeno seja o raio que a gente escolher. Isso significa que você nunca consegue “esvaziar” o ponto completamente sem encontrar outros pontos do conjunto por perto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que os números racionais ( Q) são densos nos números reais ( R). Isso quer dizer que entre dois números reais quaisquer, sempre tem um número racional. Portanto, no plano , sempre que a gente escolher um ponto com coordenadas reais, dá para encontrar pontos racionais bem próximos dele.

Passo 4

Considerando que nossos pontos têm ambas as coordenadas racionais, e que os racionais são densos nos reais, isso implica que para qualquer ponto no plano , a gente pode encontrar pontos do nosso conjunto original (com coordenadas racionais) arbitrariamente perto desse ponto. Assim, todo ponto no plano seria um ponto de acumulação.

Passo 5

Então, juntando tudo, como os números racionais são densos nos reais e isso vale para ambas as coordenadas x e y, concluímos que todo ponto no plano é um ponto de acumulação do conjunto dado.

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação é todo o plano R^2.

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