Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
e y racionais
Passo 1
Beleza, então a gente tem um conjunto de pontos no plano
onde tanto as coordenadas
quanto
são números racionais. A questão pede para a gente descobrir qual é o conjunto dos pontos de acumulação desse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ponto de acumulação e como funciona no contexto de números racionais e reais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é aquele onde, ao redor dele, sempre tem outros pontos do conjunto, não importa o quão pequeno seja o raio que a gente escolher. Isso significa que você nunca consegue “esvaziar” o ponto completamente sem encontrar outros pontos do conjunto por perto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que os números racionais (
) são densos nos números reais (
). Isso quer dizer que entre dois números reais quaisquer, sempre tem um número racional. Portanto, no plano
, sempre que a gente escolher um ponto com coordenadas reais, dá para encontrar pontos racionais bem próximos dele.
Passo 4
Considerando que nossos pontos têm ambas as coordenadas racionais, e que os racionais são densos nos reais, isso implica que para qualquer ponto no plano
, a gente pode encontrar pontos do nosso conjunto original (com coordenadas racionais) arbitrariamente perto desse ponto. Assim, todo ponto no plano seria um ponto de acumulação.
Passo 5
Então, juntando tudo, como os números racionais são densos nos reais e isso vale para ambas as coordenadas
e
, concluímos que todo ponto no plano
é um ponto de acumulação do conjunto dado.
Resposta
O conjunto dos pontos de acumulação é todo o plano
.
Exercícios relacionados
Determine os limites se existirem:
(h)
(h)
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
Sejam
e
dois conjuntos do
. Prove que se
e
forem abertos, então
e
também o serão.
Determine os limites se existirem:
(l)
(l)