Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é aberto em
. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em
, um conjunto é aberto se, para todo ponto dentro dele, conseguimos encontrar um “pequeno círculo” ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Ou seja, nenhum ponto da “borda” está incluído.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto representa todos os pontos no plano que estão fora do círculo de raio 1 centrado na origem. A equação
é a equação desse círculo.
Passo 4
Para verificar se o conjunto é aberto, vamos pegar qualquer ponto
que satisfaz
. Precisamos mostrar que existe um raio
tal que todos os pontos dentro da distância
de
também satisfazem
.
Passo 5
Calculamos a distância do ponto
até o círculo
. Essa distância é
. Vamos chamar essa distância de
. Como
, sabemos que
.
Passo 6
Com esse
, qualquer ponto dentro de um círculo de raio
ao redor de
ainda terá
, pois estamos afastados do círculo
por pelo menos
. Assim, todo ponto
nesse “pequeno círculo” também pertence ao conjunto original.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.
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Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
e
Determine os limites se existirem:
(h)
(h)
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
e y racionais