Determine os limites se existirem:
(h) lim x -3 x^2+2 x-32 x^2+3 x-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de para a função . Esse exercício envolve o conteúdo de limites em funções racionais. Para resolver, vamos precisar verificar se conseguimos simplificar a expressão ou se precisamos aplicar alguma técnica específica para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-3)^2 + 2(-3) - 32(-3)^2 + 3(-3) - 9 = 9 - 6 - 318 - 9 - 9 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
A gente acabou com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Numerador:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
Denominador:
Primeiro, achamos dois números que multiplicam para 2x^2 + 3x - 9 = 2x^2 + 6x - 3x - 9 = (2x(x + 3)) - 3(x + 3) = (x + 3)(2x - 3) e somam para 3. Esses números são 6 e -3.

Passo 4

Agora, a expressão original fica:
(x + 3)(x - 1)(x + 3)(2x - 3)
A gente pode cancelar o fator comum x - 12x - 3 :

Passo 5

Agora, substituímos -3 - 12(-3) - 3 = -4-6 - 3 = -4-9 = 49 na expressão simplificada:

Resposta

lim x -3 x^2+2 x-32 x^2+3 x-9 = 49

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