Esboçe a curva de nível de
que passa pelo ponto
e disenhe o vetor gradiente em
:
©
.
©
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para esboçarmos a curva de nível da função
que passa pelo ponto
e desenharmos o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que representa o vetor gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de nível que passa pelo ponto
. A curva de nível de uma função
para um valor constante
é dada por
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
e queremos que ela passe pelo ponto
. Para encontrar o valor de
, substituímos as coordenadas de
na função:
Então, a curva de nível que passa por
é:
Essa é a equação da curva de nível que precisamos esboçar.
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor gradiente da função
no ponto
. O vetor gradiente é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Portanto, o vetor gradiente é:
Passo 6
Substituindo as coordenadas de
no vetor gradiente:
Então, o vetor gradiente no ponto
é
.
Resposta
A curva de nível que passa pelo ponto
é
. O vetor gradiente no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(b) .
(b)
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
(a)
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(b) ;
(b)