Esboçe a curva de nível de que passa pelo ponto e disenhe o vetor gradiente em :
© .

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para esboçarmos a curva de nível da função que passa pelo ponto e desenharmos o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que representa o vetor gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de nível que passa pelo ponto . A curva de nível de uma função para um valor constante é dada por .

Passo 3

No nosso caso, a função é e queremos que ela passe pelo ponto . Para encontrar o valor de , substituímos as coordenadas de na função:
Então, a curva de nível que passa por é:
Essa é a equação da curva de nível que precisamos esboçar.

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor gradiente da função no ponto . O vetor gradiente é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Portanto, o vetor gradiente é:

Passo 6

Substituindo as coordenadas de no vetor gradiente:
Então, o vetor gradiente no ponto é .

Resposta

A curva de nível que passa pelo ponto é . O vetor gradiente no ponto é .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de em na direção do vetor
(b) .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(b) ;