Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
. para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função
é contínua. A função está definida de forma diferente dependendo do valor de
, que representa a distância do ponto
até a origem no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções em várias partes do domínio e verificar onde essa continuidade pode falhar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Aqui,
é a distância do ponto
até a origem. A função tem duas “partes” ou “casos”:
- Dentro do círculo de raio 1 (
): - No círculo de raio 1 e fora dele (
):
Nosso objetivo é encontrar todos os pontos
onde
é contínua.
Passo 3
Vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Em termos matemáticos, para
ser contínua em
:
Então, precisamos verificar onde essa condição é satisfeita.
Passo 4
Vamos analisar as duas partes da função separadamente:
-
Para
:
A funçãoestá bem definida porque , então o expoente é um número real. Exponenciais são funções contínuas onde são definidas, então é contínua para todos os pontos dentro do círculo de raio 1 ( ). -
Para
:
Aqui,, que é uma função constante. Funções constantes são contínuas em todo o seu domínio, então também é contínua para todos os pontos no círculo de raio 1 e fora dele ( ).
Passo 5
Agora, precisamos verificar a continuidade na “fronteira” entre as duas definições, ou seja, quando
se aproxima de 1. Isso é crucial porque a continuidade pode falhar nessas regiões.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direção de
:
Observe que
tende a 0 pelo lado negativo quando
. Isso faz com que
tenda a
, e consequentemente:
Então,
Agora, verificamos o valor de
em
:
Como o limite coincide com o valor da função no ponto
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 6
Finalmente, já que a função
é contínua nas regiões onde
,
e também na fronteira
, concluímos que
é contínua em todo o plano
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
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no ponto de abscissa
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Dada a função
, determine: