Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f. para r = ||(x, y)||, f(x, y) = { e^(1/(r²-1)) se r < 1, 0 se r ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função é contínua. A função está definida de forma diferente dependendo do valor de , que representa a distância do ponto até a origem no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções em várias partes do domínio e verificar onde essa continuidade pode falhar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Aqui, é a distância do ponto até a origem. A função tem duas “partes” ou “casos”:
  1. Dentro do círculo de raio 1 ( ):
  2. No círculo de raio 1 e fora dele ( ):
Nosso objetivo é encontrar todos os pontos onde é contínua.

Passo 3

Vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Em termos matemáticos, para ser contínua em :
Então, precisamos verificar onde essa condição é satisfeita.

Passo 4

Vamos analisar as duas partes da função separadamente:
  1. Para :
    A função está bem definida porque , então o expoente é um número real. Exponenciais são funções contínuas onde são definidas, então é contínua para todos os pontos dentro do círculo de raio 1 ( ).
  2. Para :
    Aqui, , que é uma função constante. Funções constantes são contínuas em todo o seu domínio, então também é contínua para todos os pontos no círculo de raio 1 e fora dele ( ).

Passo 5

Agora, precisamos verificar a continuidade na “fronteira” entre as duas definições, ou seja, quando se aproxima de 1. Isso é crucial porque a continuidade pode falhar nessas regiões.
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direção de :
Observe que tende a 0 pelo lado negativo quando . Isso faz com que tenda a , e consequentemente:
Então,
Agora, verificamos o valor de em :
Como o limite coincide com o valor da função no ponto , a função é contínua nesse ponto.

Passo 6

Finalmente, já que a função é contínua nas regiões onde , e também na fronteira , concluímos que é contínua em todo o plano .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

Exercícios relacionados

Encontrar a equação da reta tangente à curva y = 8 - 2 x^2 no ponto de abscissa x = -1. Esboçar o gráfico da função e da reta tangente.
Determine as derivadas das funções abaixo: f(x) = e^(sen(x)) + ln(2x + 1)
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir. z = arctan((x+y)/(1 - x*y))
Dada a função f(x, y) = x^2 - y^2 + 3x - 4, determine: f(2, t)
R: 6 - t^2