Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir. z = arctan((x+y)/(1 - x*y))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso significa que vamos calcular as derivadas de em relação a e duas vezes cada. Para isso, vamos usar noções de cálculo de derivadas parciais e regras da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando as primeiras derivadas parciais de em relação a e . Sabemos que se , então a derivada de em relação a é .

Passo 3

Primeiro, defina . Então, , e pela regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular . Temos:
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo na expressão para :
Simplificando a expressão:
Portanto:

Passo 6

De forma semelhante, vamos encontrar . Usando a mesma abordagem:
Calculando :
Então:

Passo 7

Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, . Vamos derivar em relação a .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 8

Em seguida, vamos calcular . Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Por fim, vamos calcular as derivadas cruzadas e . Derivando em relação a :
Simplificando:
Observando que , temos:
O mesmo vale para .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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