Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso significa que vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
duas vezes cada. Para isso, vamos usar noções de cálculo de derivadas parciais e regras da cadeia.
Passo 2
Vamos começar encontrando as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
. Sabemos que se
, então a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Primeiro, defina
. Então,
, e pela regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular
. Temos:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Substituindo
na expressão para
:
Simplificando a expressão:
Portanto:
Passo 6
De forma semelhante, vamos encontrar
. Usando a mesma abordagem:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro,
. Vamos derivar
em relação a
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 8
Em seguida, vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Por fim, vamos calcular as derivadas cruzadas
e
. Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Observando que
, temos:
O mesmo vale para
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
. para
Encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
. Esboçar o gráfico da função e da reta tangente.
Dada a função
, determine:
Determinar uma função de várias variáveis que represente: A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura
e comprimento
.
R:
R: