Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa descobrir em quais pontos a função
é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções de duas variáveis, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar onde a função pode ter problemas, como divisões por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso,
está definida para todos os
em que o denominador
não é zero, porque não dá para dividir por zero.
Passo 3
Então, vamos identificar onde o denominador é zero:
A única solução para essa equação é
e
. Portanto, o ponto
é o único onde a função não está definida inicialmente.
Passo 4
Agora, vamos investigar o que acontece perto desse ponto. Queremos ver se conseguimos estender a definição da função para
de forma que a função se torne contínua nesse ponto. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 5
Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Substituímos:
Substituindo na função:
Passo 6
Agora, analisamos o limite quando
tende a zero:
Isso porque
está multiplicando termos limitados (já que
e
estão entre -1 e 1). Portanto, o limite é zero.
Passo 7
Com o limite sendo zero, podemos definir
para tornar a função contínua nesse ponto. Assim, estendendo a definição da função, ela fica contínua em todo o plano
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
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