Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções de duas variáveis, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar onde a função pode ter problemas, como divisões por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, está definida para todos os em que o denominador não é zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Então, vamos identificar onde o denominador é zero:
A única solução para essa equação é e . Portanto, o ponto é o único onde a função não está definida inicialmente.

Passo 4

Agora, vamos investigar o que acontece perto desse ponto. Queremos ver se conseguimos estender a definição da função para de forma que a função se torne contínua nesse ponto. Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de .

Passo 5

Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Substituímos:
Substituindo na função:

Passo 6

Agora, analisamos o limite quando tende a zero:
Isso porque está multiplicando termos limitados (já que e estão entre -1 e 1). Portanto, o limite é zero.

Passo 7

Com o limite sendo zero, podemos definir para tornar a função contínua nesse ponto. Assim, estendendo a definição da função, ela fica contínua em todo o plano .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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