Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
.
Passo 1
Na questão, precisamos determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, em seguida, derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Como a derivada de
em relação a
é
, e aplicando a regra da cadeia:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Aplicando a mesma regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada parcial de segunda ordem em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, então:
Em seguida, a derivada parcial de segunda ordem mista primeiro em
e depois em
:
Aplicando a regra da cadeia:
Similarmente, a derivada parcial de segunda ordem mista primeiro em
e depois em
:
Finalmente, a derivada parcial de segunda ordem em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
;
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
Prove que os limites abaixo não existem: