Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Quando derivamos em relação a
, consideramos
como uma constante.
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar a segunda derivada parcial
.
Derivando termo a termo:
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora, derivamos
novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial
.
Derivando termo a termo:
Passo 6
Também podemos calcular as derivadas cruzadas
e
. Vamos primeiro derivar
em relação a
.
Derivando termo a termo:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
.
Derivando termo a termo:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
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Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
.