Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Quando derivamos em relação a , consideramos como uma constante.
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a segunda derivada parcial .
Derivando termo a termo:

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , chamada de . Aqui, tratamos como uma constante.
Derivando termo a termo:

Passo 5

Agora, derivamos novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial .
Derivando termo a termo:

Passo 6

Também podemos calcular as derivadas cruzadas e . Vamos primeiro derivar em relação a .
Derivando termo a termo:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a para encontrar .
Derivando termo a termo:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
.