Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a e separadamente, mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais que você provavelmente já ouviu falar.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante. A função fica então .

Passo 3

Lembra que a derivada de em relação a é . Aplicando isso aqui, temos:
Como é constante, a derivada de em relação a é 1.

Passo 4

Substituindo, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Assim como antes, agora tratamos como constante.

Passo 6

Aplicando a mesma regra da derivada de , temos:
Como é constante, a derivada de em relação a também é 1.

Passo 7

Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
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Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
;
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função: