Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a
e
separadamente, mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais que você provavelmente já ouviu falar.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante. A função fica então
.
Passo 3
Lembra que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso aqui, temos:
Como
é constante, a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 4
Substituindo, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Assim como antes, agora tratamos
como constante.
Passo 6
Aplicando a mesma regra da derivada de
, temos:
Como
é constante, a derivada de
em relação a
também é 1.
Passo 7
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
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;
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Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
;
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função: