Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar todos os pontos onde a função
é contínua. A função está definida de um jeito especial: para qualquer ponto diferente de
, usamos uma fórmula, e no ponto
, ela é igual a zero. Vamos precisar entender o que é continuidade e verificar se a função mantém isso em todos os pontos, especialmente em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela naquele ponto existe e é igual ao próprio valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisamos que:
Então, vamos verificar essa condição para todos os pontos.
Passo 3
Para todos os pontos
diferentes de
, a função
é uma fração de polinômios. Polinômios são funções contínuas em todo lugar, e como o denominador
nunca é zero quando
, a função
é contínua em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos ver se:
Para isso, vamos analisar o limite quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 5
Vamos testar alguns caminhos simples. Primeiro, vamos pelo eixo
, ou seja,
:
Então, o limite é 0.
Passo 6
Agora, vamos pelo eixo
, ou seja,
:
Mais uma vez, o limite é 0.
Passo 7
Vamos verificar um caminho mais geral, como
, onde
é uma constante:
Substituindo
na função:
Isso significa que, dependendo de
, o limite pode ser diferente de 0. Por exemplo, se
:
Passo 8
Como o limite depende do caminho que escolhemos para
se aproximar de
e nem sempre é igual a 0, concluímos que o limite geral não existe. Portanto, a função
não é contínua em
.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função
é todo o plano
exceto o ponto
.