(2,0) Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função dada por
f(x, y)=rr x^2 y^3+x^3 y^2x^5+y^5, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar todos os pontos onde a função é contínua. A função está definida de um jeito especial: para qualquer ponto diferente de , usamos uma fórmula, e no ponto , ela é igual a zero. Vamos precisar entender o que é continuidade e verificar se a função mantém isso em todos os pontos, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela naquele ponto existe e é igual ao próprio valor da função nesse ponto. Ou seja, para lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) ser contínua em , precisamos que:
Então, vamos verificar essa condição para todos os pontos.

Passo 3

Para todos os pontos diferentes de , a função é uma fração de polinômios. Polinômios são funções contínuas em todo lugar, e como o denominador nunca é zero quando , a função é contínua em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, o ponto crítico é lim(x, y) to (0,0) x^2 y^3 + x^3 y^2x^5 + y^5 = f(0,0) = 0 . Precisamos ver se:
Para isso, vamos analisar o limite quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 5

Vamos testar alguns caminhos simples. Primeiro, vamos pelo eixo f(x, 0) = x^2 cdot 0^3 + x^3 cdot 0^2x^5 + 0^5 = 0 , ou seja, :
Então, o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos pelo eixo f(0, y) = 0^2 cdot y^3 + 0^3 cdot y^20^5 + y^5 = 0 , ou seja, :
Mais uma vez, o limite é 0.

Passo 7

Vamos verificar um caminho mais geral, como f(x, kx) = x^2 (kx)^3 + x^3 (kx)^2x^5 + (kx)^5 = x^2 k^3 x^3 + x^3 k^2 x^2x^5 + k^5x^5 = k^3x^5 + k^2x^5(1 + k^5)x^5 = k^3 + k^21 + k^5 , onde 1^3 + 1^21 + 1^5 = 1 + 11 + 1 = 1 é uma constante:
Substituindo na função:
Isso significa que, dependendo de , o limite pode ser diferente de 0. Por exemplo, se :

Passo 8

Como o limite depende do caminho que escolhemos para se aproximar de e nem sempre é igual a 0, concluímos que o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade da função é todo o plano exceto o ponto .

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