Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos uma das variáveis
,
ou
, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são essenciais no cálculo multivariável.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
e
como constantes.
A função
tem duas partes:
e
. Vamos derivar cada parte separadamente.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Isso porque
e
são constantes em relação a
, então a derivada é apenas
.
Agora, derivamos
em relação a
. Aqui, temos uma função que envolve
no numerador e no denominador, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificamos a expressão resultante para facilitar.
Passo 3
Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter
:
Essa é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular agora a derivada parcial de
em relação a
,
. Novamente, tratamos
e
como constantes.
Derivando
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do poder, já que
e
são constantes.
Agora, derivamos
em relação a
usando a regra do quociente:
Simplificamos para obter a expressão final.
Passo 5
Somando as derivadas das duas partes, temos:
Essa é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Mantemos
e
constantes.
Derivando
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia.
Agora, derivamos
em relação a
usando novamente a regra do quociente:
Simplificamos a expressão resultante.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: