Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^3.
f(x, y, z) = (x * y^2) / (1 + z) + (x * y * z) / (x + y + z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos uma das variáveis , ou , mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são essenciais no cálculo multivariável.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes.
A função tem duas partes: e . Vamos derivar cada parte separadamente.
Primeiro, derivamos em relação a :
Isso porque e são constantes em relação a , então a derivada é apenas .
Agora, derivamos em relação a . Aqui, temos uma função que envolve no numerador e no denominador, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificamos a expressão resultante para facilitar.

Passo 3

Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter :
Essa é a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular agora a derivada parcial de em relação a , . Novamente, tratamos e como constantes.
Derivando em relação a :
Aqui, aplicamos a regra do poder, já que e são constantes.
Agora, derivamos em relação a usando a regra do quociente:
Simplificamos para obter a expressão final.

Passo 5

Somando as derivadas das duas partes, temos:
Essa é a derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Mantemos e constantes.
Derivando em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia.
Agora, derivamos em relação a usando novamente a regra do quociente:
Simplificamos a expressão resultante.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

Exercícios relacionados