Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que são derivadas de funções com várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouco sobre derivadas trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, chamada
. A função é
, então usamos a regra da cadeia:
Derivando, temos:
Que simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, chamada
. Isso significa derivar
em relação a
:
Aplicando a derivada da função seno:
Passo 4
Vamos encontrar a derivada mista
, ou seja, derivar
em relação a
:
Novamente, usando a derivada da função seno:
Passo 5
De maneira similar, podemos encontrar
derivando
em relação a
. Porém, já vimos que
, então:
Passo 6
Por fim, vamos calcular
, que é a segunda derivada parcial em relação a
. Primeiro, encontramos
:
Agora, derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: