Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^2. f(x, y) = sen^2(x + y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que são derivadas de funções com várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouco sobre derivadas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , chamada . A função é , então usamos a regra da cadeia:
Derivando, temos:
Que simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , chamada . Isso significa derivar em relação a :
Aplicando a derivada da função seno:

Passo 4

Vamos encontrar a derivada mista , ou seja, derivar em relação a :
Novamente, usando a derivada da função seno:

Passo 5

De maneira similar, podemos encontrar derivando em relação a . Porém, já vimos que , então:

Passo 6

Por fim, vamos calcular , que é a segunda derivada parcial em relação a . Primeiro, encontramos :
Agora, derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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