Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar todos os pontos onde a função
é contínua. Vamos usar conceitos de continuidade de funções e analisar onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto é igual ao valor da função no ponto. No nosso caso, estamos lidando com funções de duas variáveis, mas o conceito é o mesmo.
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador da nossa função separadamente. O numerador é
e o denominador é
.
Passo 4
Ambas as partes,
e
, são funções contínuas para todos os valores de
e
. Isso significa que, a menos que o denominador seja zero, a função inteira será contínua.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o denominador pode ser zero. Sabemos que
varia entre -1 e 1. Então,
varia entre
e
. Portanto, o denominador nunca é zero.
Passo 6
Como o denominador nunca é zero e ambas as partes da função são contínuas, podemos concluir que a função
é contínua para todos os valores de
e
.
Resposta
A função
é contínua para todos os números reais
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura a seguir mostra o velocímetro de um carro que pode atingir
. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário, à medida que a velocidade aumenta.
Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (
e sua posição quando o velocímetro marca
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Mostre que se
e
é um conjunto de conteúdo nulo, então
é um conjunto de conteúdo nulo.