Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar onde a função
é contínua. A função é definida de duas maneiras: uma quando
e outra quando
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e verificar os limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função quando
:
Aqui, a gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não dá certo.
Passo 3
Vamos ver onde o denominador
é igual a zero:
Isso significa que quando
está no círculo de raio 5, o denominador zera. Então, a função não está definida nesses pontos, a menos que haja cancelamento no numerador.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Isso mostra que, exceto no círculo
, a função é igual a
, que é contínua.
Passo 5
Agora, vamos analisar o ponto
. Primeiro, verificamos se
está no círculo
:
Então, o ponto está no círculo onde a função original não está definida da forma geral, mas foi definido como
.
Passo 6
Para ver se a função é contínua em
, precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Como o limite é igual a 10, que é o valor definido para
, a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
Exercícios relacionados
Mostre através de um exemplo que
pode existir sem que
e
existam.
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(b) .
(a)
(b)
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no ponto de coordenadas $(2,2,-1)$.
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes: