Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções a seguir. f(x, y) = { (x^2 + y^2 - 25) / (raiz(x^2 + y^2) - 5) se (x, y) ≠ (3, 4) ; 10 se (x, y) = (3, 4) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar onde a função é contínua. A função é definida de duas maneiras: uma quando e outra quando . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e verificar os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quando :
Aqui, a gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não dá certo.

Passo 3

Vamos ver onde o denominador é igual a zero:
Isso significa que quando está no círculo de raio 5, o denominador zera. Então, a função não está definida nesses pontos, a menos que haja cancelamento no numerador.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Isso mostra que, exceto no círculo , a função é igual a , que é contínua.

Passo 5

Agora, vamos analisar o ponto . Primeiro, verificamos se está no círculo :
Então, o ponto está no círculo onde a função original não está definida da forma geral, mas foi definido como .

Passo 6

Para ver se a função é contínua em , precisamos calcular o limite quando se aproxima de :
Como o limite é igual a 10, que é o valor definido para , a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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