Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Passo 1
Vamos analisar a integral . O objetivo é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender conceitos de integrais impróprias e convergência de integrais. Vamos dividir a integral em partes mais simples e analisar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
Isso nos permite examinar separadamente os comportamentos da função nos intervalos e .
Passo 3
Vamos calcular a primeira parte da integral: .
Fazendo uma substituição , temos e os limites de integração mudam de para em para a em :
Agora, avaliamos . Note que cresce exponencialmente à medida que tende ao infinito, e multiplicado por , a função diverge para . Portanto, essa parte da integral é divergente.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral: .
Esta é uma integral conhecida, onde a função decai exponencialmente à medida que aumenta. Podemos resolver essa integral utilizando a integração por partes:
Seja e , então temos e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto, esta parte da integral converge para .
Passo 5
Apesar de a segunda parte da integral convergir, a primeira parte que analisamos é divergente. Quando uma das partes de uma integral imprópria diverge, a integral total também é considerada divergente.