Determine as equações do plano tangente e da reta normal à esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no ponto de coordenadas $(2,2,-1)$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do **plano tangente** e da **reta normal** à esfera definida por \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\) no ponto \((2, 2, -1)\). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como derivadas e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera. A equação geral de uma esfera com centro na origem é \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\), onde \(r\) é o raio. No nosso caso, \(r^{2} = 9\), então \(r = 3\).
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente à esfera em um ponto específico, precisamos do **vetor normal** à superfície da esfera nesse ponto. Esse vetor normal é, na verdade, o **vetor posição** do ponto, ou seja, \(\vec{n} = (2, 2, -1)\).
Passo 4
A equação geral do plano é dada por:
\[
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
\]
onde \((A, B, C)\) são as componentes do vetor normal e \((x_0, y_0, z_0)\) são as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 5
Substituindo os valores:
\[
2(x - 2) + 2(y - 2) - 1(z + 1) = 0
\]
Vamos simplificar:
\[
2x - 4 + 2y - 4 - z - 1 = 0
\]
\[
2x + 2y - z - 9 = 0
\]
Essa é a equação do plano tangente.
Passo 6
Agora, para a reta normal, ela passa pelo ponto \((2, 2, -1)\) e segue a direção do vetor normal \(\vec{n} = (2, 2, -1)\). A equação paramétrica da reta é:
\[
x = x_0 + At
\]
\[
y = y_0 + Bt
\]
\[
z = z_0 + Ct
\]
Onde \(t\) é o parâmetro.
Passo 7
Substituindo os valores:
\[
x = 2 + 2t
\]
\[
y = 2 + 2t
\]
\[
z = -1 - t
\]
Essas são as equações paramétricas da reta normal.
Resposta
A equação do plano tangente à esfera no ponto \((2, 2, -1)\) é:
\[
2x + 2y - z - 9 = 0
\]
E as equações paramétricas da reta normal são:
\[
x = 2 + 2t
\]
\[
y = 2 + 2t
\]
\[
z = -1 - t
\]
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