Determine as equações do plano tangente e da reta normal à esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no ponto de coordenadas $(2,2,-1)$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do **plano tangente** e da **reta normal** à esfera definida por \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\) no ponto \((2, 2, -1)\). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como derivadas e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera. A equação geral de uma esfera com centro na origem é \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\), onde \(r\) é o raio. No nosso caso, \(r^{2} = 9\), então \(r = 3\).

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente à esfera em um ponto específico, precisamos do **vetor normal** à superfície da esfera nesse ponto. Esse vetor normal é, na verdade, o **vetor posição** do ponto, ou seja, \(\vec{n} = (2, 2, -1)\).

Passo 4

A equação geral do plano é dada por: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] onde \((A, B, C)\) são as componentes do vetor normal e \((x_0, y_0, z_0)\) são as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 5

Substituindo os valores: \[ 2(x - 2) + 2(y - 2) - 1(z + 1) = 0 \] Vamos simplificar: \[ 2x - 4 + 2y - 4 - z - 1 = 0 \] \[ 2x + 2y - z - 9 = 0 \] Essa é a equação do plano tangente.

Passo 6

Agora, para a reta normal, ela passa pelo ponto \((2, 2, -1)\) e segue a direção do vetor normal \(\vec{n} = (2, 2, -1)\). A equação paramétrica da reta é: \[ x = x_0 + At \] \[ y = y_0 + Bt \] \[ z = z_0 + Ct \] Onde \(t\) é o parâmetro.

Passo 7

Substituindo os valores: \[ x = 2 + 2t \] \[ y = 2 + 2t \] \[ z = -1 - t \] Essas são as equações paramétricas da reta normal.

Resposta

A equação do plano tangente à esfera no ponto \((2, 2, -1)\) é: \[ 2x + 2y - z - 9 = 0 \] E as equações paramétricas da reta normal são: \[ x = 2 + 2t \] \[ y = 2 + 2t \] \[ z = -1 - t \]

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