Determine o conjunto dos pontos de continuidade de . Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e precisamos encontrar todos os valores de onde essa função é contínua. Para isso, vamos analisar a continuidade de cada uma das três componentes da função .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . Isso é uma fração onde o denominador é . Para que essa fração esteja bem definida, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos encontrar onde .

Passo 3

Resolvendo , temos . Isso significa que quando , a primeira componente da função não está definida, ou seja, há uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . Novamente, temos uma fração com o denominador . Para a fração estar definida, não pode ser zero. Vamos resolver .

Passo 5

Resolvendo , obtemos . Portanto, quando , a segunda componente da função não está definida, indicando outra descontinuidade nesse ponto.

Passo 6

A terceira componente é . A função exponencial é contínua para todos os valores de , ou seja, não apresenta descontinuidades.

Passo 7

Para a função vetorial ser contínua em um ponto , todas as suas componentes devem ser contínuas naquele ponto. Já identificamos que existem descontinuidades em e nas primeiras duas componentes da função.

Resposta

Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade de é todos os números reais exceto e . Em notação matemática, isso é representado por:

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Calcule os limites
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Obtenha e no ponto dado. .