Obtenha e no ponto dado. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os vetores unitários tangente e normal no ponto onde para a curva dada por . A gente vai precisar usar derivadas de vetores e entender como calcular vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é :
Agora, substituímos :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de :

Passo 4

O vetor tangente unitário é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de , que é . Primeiro, precisamos da segunda derivada de :
Substituindo :
Então, .

Passo 6

Para encontrar , usamos a fórmula:
Calculando o produto escalar :
Então, a fórmula simplifica para:

Passo 7

Agora, calculamos o módulo de :

Passo 8

Finalmente, o vetor normal unitário é dado por:
Substituindo os valores:

Resposta

A unidade tangente é e a unidade normal é .

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