Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, que é definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto
é ou não o ponto
. O objetivo é determinar quais são os pontos onde essa função é contínua. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade em funções de várias variáveis e verificar especialmente o comportamento no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade da função em todos os pontos
diferentes de
. Quando
, a função é dada por:
Tanto o numerador
quanto o denominador
são funções polinomiais, que são contínuas em todo o plano. Além disso, o denominador nunca é zero quando
. Portanto,
é contínua em todos os pontos onde
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Calculando o limite:
Vamos analisar esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é o mesmo:
- Caminho 1:
Esse limite tende a infinito, o que significa que ele não existe finitamente.
- Caminho 2:
Aqui, o limite é
. Como estamos obtendo limites diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral não existe.
Passo 4
Como o limite de
em
não existe, a função não é contínua nesse ponto. Portanto, a função
é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto
.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de
é todos os pontos
no plano, exceto o ponto
.