Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
f(x, y) = { (x - 3y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto é ou não o ponto . O objetivo é determinar quais são os pontos onde essa função é contínua. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade em funções de várias variáveis e verificar especialmente o comportamento no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função em todos os pontos diferentes de . Quando , a função é dada por:
Tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais, que são contínuas em todo o plano. Além disso, o denominador nunca é zero quando . Portanto, é contínua em todos os pontos onde .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é .
Calculando o limite:
Vamos analisar esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é o mesmo:
  • Caminho 1:
Esse limite tende a infinito, o que significa que ele não existe finitamente.
  • Caminho 2:
Aqui, o limite é . Como estamos obtendo limites diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral não existe.

Passo 4

Como o limite de em não existe, a função não é contínua nesse ponto. Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de é todos os pontos no plano, exceto o ponto .

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