Exercício 2. Calcule a integral de linha de sobre a curva para:
(b) e é o segmento de reta de a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva . Aqui, e é o segmento de reta que vai do ponto até . O que precisamos aqui é entender como calcular uma integral de linha, que basicamente soma os efeitos do campo vetorial ao longo de uma trajetória específica.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para representar os pontos ao longo dessa reta. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando , estamos no ponto inicial , e quando , chegamos ao ponto final .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva :
Esse vetor nos mostra a direção e a velocidade com que percorremos a curva à medida que varia.
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na função :
Isso nos dá o valor do campo vetorial em cada ponto ao longo da curva .