Exercício 2. Calcule a integral de linha de F sobre a curva C para:
(b) F(x, y * z) = (x, y, x * z - y) e C é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (2, 3, 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva . Aqui, e é o segmento de reta que vai do ponto até . O que precisamos aqui é entender como calcular uma integral de linha, que basicamente soma os efeitos do campo vetorial ao longo de uma trajetória específica.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para representar os pontos ao longo dessa reta. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando , estamos no ponto inicial , e quando , chegamos ao ponto final .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva :
Esse vetor nos mostra a direção e a velocidade com que percorremos a curva à medida que varia.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função :
Isso nos dá o valor do campo vetorial em cada ponto ao longo da curva .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar de com :
Vamos simplificar isso passo a passo:

Passo 6

Agora, a integral de linha fica assim:
Vamos integrar termo por termo:
Então, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, avaliamos essa expressão de a :
Vamos somar esses valores:

Resposta

A integral de linha de sobre a curva é .

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