Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três funções: duas funções vetoriais
e
que mapeiam de
para
, e uma função real
que mapeia de
para
. O problema nos pede para mostrar que o limite do produto de
com
quando
se aproxima de
é igual ao produto dos limites individuais de
e
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites de funções, especialmente a propriedade que lida com o limite do produto de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos duas funções
e
que têm limites quando
se aproxima de
, isto é,
e
, então o limite do produto dessas funções é o produto dos limites individuais:
Essa é uma das propriedades fundamentais dos limites em cálculo.
Passo 3
No nosso exercício,
é uma função real e
é uma função vetorial. Para lidar com o limite do produto
, podemos pensar que estamos multiplicando um escalar
por um vetor
. O resultado será um vetor cujas componentes são os produtos do escalar
pelas componentes correspondentes de
.
Passo 4
Sabemos que
existe e é um número real, digamos
. Também sabemos que
existe e é um vetor em
, digamos
.
Aplicando a propriedade dos limites que mencionamos no Passo 2, temos:
Isso significa que cada componente do vetor
será multiplicada por
no limite.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Sejam
, sent, 2
e
. Calcule
.
Sejam
, sent, 2
e
. Calcule
.
Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta.
.