Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três funções: duas funções vetoriais e que mapeiam de para , e uma função real que mapeia de para . O problema nos pede para mostrar que o limite do produto de com quando se aproxima de é igual ao produto dos limites individuais de e . Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites de funções, especialmente a propriedade que lida com o limite do produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos duas funções e que têm limites quando se aproxima de , isto é, e , então o limite do produto dessas funções é o produto dos limites individuais:
Essa é uma das propriedades fundamentais dos limites em cálculo.

Passo 3

No nosso exercício, é uma função real e é uma função vetorial. Para lidar com o limite do produto , podemos pensar que estamos multiplicando um escalar por um vetor . O resultado será um vetor cujas componentes são os produtos do escalar pelas componentes correspondentes de .

Passo 4

Sabemos que existe e é um número real, digamos . Também sabemos que existe e é um vetor em , digamos .
Aplicando a propriedade dos limites que mencionamos no Passo 2, temos:
Isso significa que cada componente do vetor será multiplicada por no limite.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Sejam , sent, 2 e . Calcule .
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Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta. .