Sejam F, G: A subset R R^n funções vetoriais e f: A R uma função real. Suponha que existam os limites de F(t), G(t) e f(t) quando t t0. Mostre que lim t t0 f(t) F(t)=lim t t0 f(t) lim t t0 F(t).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três funções: duas funções vetoriais e que mapeiam de para , e uma função real que mapeia de para . O problema nos pede para mostrar que o limite do produto de com quando se aproxima de é igual ao produto dos limites individuais de e . Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites de funções, especialmente a propriedade que lida com o limite do produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos duas funções limt to t0 [u(t) cdot v(t)] = ( limt to t0 u(t) ) cdot ( limt to t0 v(t) ) = U cdot V e que têm limites quando se aproxima de , isto é, e , então o limite do produto dessas funções é o produto dos limites individuais:
Essa é uma das propriedades fundamentais dos limites em cálculo.

Passo 3

No nosso exercício, é uma função real e é uma função vetorial. Para lidar com o limite do produto , podemos pensar que estamos multiplicando um escalar por um vetor . O resultado será um vetor cujas componentes são os produtos do escalar pelas componentes correspondentes de .

Passo 4

Sabemos que limt to t0 [f(t) F(t)] = ( limt to t0 f(t) ) cdot ( limt to t0 F(t) ) = L cdot V existe e é um número real, digamos . Também sabemos que existe e é um vetor em , digamos .
Aplicando a propriedade dos limites que mencionamos no Passo 2, temos:
Isso significa que cada componente do vetor será multiplicada por no limite.

Resposta

Portanto, mostramos que:
limt to t0 f(t) F(t) = ( limt to t0 f(t) ) cdot ( limt to t0 F(t) )

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