Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos de continuidade da função
, que é definida da seguinte forma:
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em
e analisar essa função em diferentes regiões do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função está definida de cada forma. A função tem duas partes:
- Para
: - Para
:
Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade em cada região separadamente.
Região onde
:
Nessa região, a função é
. Vamos analisar o comportamento dessa expressão:
- O denominador
é negativo porque . - Portanto,
é um número negativo grande à medida que se aproxima de 1 por baixo. - Assim,
tende a quando se aproxima de 1.
Essa função é suave e contínua em toda a região onde
porque é uma composição de funções contínuas.
Região onde
:
Aqui, a função é simplesmente
, que é contínua em todo o plano.
Passo 4
Agora, precisamos verificar o que acontece na fronteira entre essas duas regiões, ou seja, quando
.
- Limite quando
se aproxima de 1 por baixo ( ):
- Valor da função em
:
Como o limite da função quando
se aproxima de 1 por baixo é igual ao valor da função em
, não há descontinuidade nessa fronteira.
Passo 5
Como a função é contínua em
, contínua em
e não apresenta descontinuidade na fronteira
, podemos concluir que
é contínua em todo o plano
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.