Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta. f(x, y) = { e^(1/(r^2 - 1)) se r < 1 onde r = ||(x, y)||; 0, r ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos de continuidade da função , que é definida da seguinte forma:
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em e analisar essa função em diferentes regiões do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está definida de cada forma. A função tem duas partes:
  1. Para :
  2. Para :
Aqui, representa a distância do ponto até a origem.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade em cada região separadamente.

Região onde :

Nessa região, a função é . Vamos analisar o comportamento dessa expressão:
  • O denominador é negativo porque .
  • Portanto, é um número negativo grande à medida que se aproxima de 1 por baixo.
  • Assim, tende a quando se aproxima de 1.
Essa função é suave e contínua em toda a região onde porque é uma composição de funções contínuas.

Região onde :

Aqui, a função é simplesmente , que é contínua em todo o plano.

Passo 4

Agora, precisamos verificar o que acontece na fronteira entre essas duas regiões, ou seja, quando .
  • Limite quando se aproxima de 1 por baixo ( ):
  • Valor da função em :
Como o limite da função quando se aproxima de 1 por baixo é igual ao valor da função em , não há descontinuidade nessa fronteira.

Passo 5

Como a função é contínua em , contínua em e não apresenta descontinuidade na fronteira , podemos concluir que é contínua em todo o plano .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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