Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série
e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
Queremos encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial
, e usar isso para determinar se a série converge ou diverge. Se ela converge, precisamos encontrar a soma.
O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e somas parciais, especificamente séries telescópicas, que são aquelas onde os termos são estruturados de forma a simplificarem quando somados.
Para resolver, precisamos entender como manipular a série e identificar se ela é telescópica.
Passo 2
Vamos calcular a soma parcial
, que é a soma dos primeiros
termos da série:
Podemos reescrever essa soma separando os termos:
Passo 3
Observamos que na soma, termos semelhantes se cancelam. Vamos ver:
-
aparece com sinal negativo no primeiro termo e com sinal positivo no segundo, então se cancelam. - Isso acontece para todos os termos intermediários.
Assim, a soma parcial fica simplificada para:
Passo 4
Agora que temos uma fórmula para
, vamos analisar o comportamento da série quando
tende ao infinito.
Sabemos que
. Portanto:
Passo 5
Calculando o limite:
Sabemos que
.
Então:
Isso significa que a série converge para
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.