Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série (Sn) e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. sumn=1^infty(arccos (1n+1)-arccos (1n+2))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^infty(arccos (1n+1)-arccos (1n+2))
Queremos encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial , e usar isso para determinar se a série converge ou diverge. Se ela converge, precisamos encontrar a soma.
O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e somas parciais, especificamente séries telescópicas, que são aquelas onde os termos são estruturados de forma a simplificarem quando somados.
Para resolver, precisamos entender como manipular a série e identificar se ela é telescópica.

Passo 2

Vamos calcular a soma parcial Sn = sumk=1^n(arccos (1k+1)-arccos (1k+2)) , que é a soma dos primeiros Sn = (arccos (12) - arccos (13)) + (arccos (13) - arccos (14)) + dots + (arccos (1n+1) - arccos (1n+2)) termos da série:
Podemos reescrever essa soma separando os termos:

Passo 3

Observamos que na soma, termos semelhantes se cancelam. Vamos ver:
  • Sn = arccos (12) - arccos (1n+2) aparece com sinal negativo no primeiro termo e com sinal positivo no segundo, então se cancelam.
  • Isso acontece para todos os termos intermediários.
Assim, a soma parcial fica simplificada para:

Passo 4

Agora que temos uma fórmula para limn to infty Sn = arccos (12) - limn to infty arccos (1n+2) , vamos analisar o comportamento da série quando limn to infty arccos (1n+2) = arccos(0) = pi2 tende ao infinito.
Sabemos que . Portanto:

Passo 5

Calculando o limite:
limn to infty Sn = arccos (12) - pi2
Sabemos que limn to infty Sn = pi3 - pi2 = -pi6 .
Então:
Isso significa que a série converge para .

Resposta

A série converge e sua soma é .

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