Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: y'' + y = tan(t), 0 < t < pi/2, y1(t) = cos(t), y2(t) = sen(t),

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , no intervalo . A gente vai usar o método da variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando já conhecemos as soluções gerais da equação homogênea associada. Aqui, as soluções homogêneas são dadas por e . Vamos precisar dessas soluções e entender um pouco sobre como aplicar a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a equação homogênea associada é , cujas soluções são e . A ideia da variação dos parâmetros é assumir que a solução particular pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções, mas com coeficientes que variam com . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Para isso, derivamos :
Para simplificar os cálculos, vamos impor a condição:
Com essa condição, a derivada fica mais simples:

Passo 4

Derivando novamente para obter :
Agora, substituímos e na equação diferencial original :
Substituindo:
Observamos que termos com e se cancelam, restando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema usando matriz ou substituição. Vamos usar a matriz:

[


]
Calculando o determinante da matriz:
Então, a solução é:

Passo 6

Agora, integramos e para encontrar e :
Sabendo que , temos:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos descartar a constante .
Para :
Novamente, descartando a constante.

Passo 7

Substituímos e na expressão de :
Simplificando:
Podemos escrever , então:

Resposta

A solução particular da equação é:

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