Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, no intervalo
. A gente vai usar o método da variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando já conhecemos as soluções gerais da equação homogênea associada. Aqui, as soluções homogêneas são dadas por
e
. Vamos precisar dessas soluções e entender um pouco sobre como aplicar a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a equação homogênea associada é
, cujas soluções são
e
. A ideia da variação dos parâmetros é assumir que a solução particular
pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções, mas com coeficientes que variam com
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
:
Para simplificar os cálculos, vamos impor a condição:
Com essa condição, a derivada fica mais simples:
Passo 4
Derivando novamente para obter
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original
:
Substituindo:
Observamos que termos com
e
se cancelam, restando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema usando matriz ou substituição. Vamos usar a matriz:
[
]
Calculando o determinante da matriz:
Então, a solução é:
Passo 6
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Sabendo que
, temos:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos descartar a constante
.
Para
:
Novamente, descartando a constante.
Passo 7
Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Podemos escrever
, então:
Resposta
A solução particular da equação
é: