Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar onde a função é contínua e justificar isso. A função está definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde o ponto está em relação ao círculo de raio 1 (ou seja, se ou ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar cada caso da definição da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, precisamos verificar onde essa condição é satisfeita para a nossa função .

Passo 3

Vamos dividir a análise em duas partes, de acordo com a definição da função:
  1. Dentro do círculo ( ):
    Aqui, a função é dada por:
    Para que essa função seja contínua, o denominador não pode ser zero. Vamos verificar:
    Então, dentro do círculo, a função está bem definida e contínua em todos os pontos, já que não temos divisão por zero ou outros tipos de descontinuidades.
  2. No círculo e fora dele ( ):
    Aqui, a função é simplesmente:
    Uma função constante é sempre contínua, então nesse caso, a função também é contínua em todos os pontos onde .

Passo 4

Agora vem a parte mais delicada: no limite entre os dois casos, ou seja, quando . Precisamos verificar se a função é contínua nesses pontos.
  • Valor da função no limite ( ):
  • Limite quando se aproxima de de dentro do círculo ( ):
    Como , podemos substituir:
    Esse valor é diferente de zero porque .
  • Limite quando se aproxima de de fora do círculo ( ):
Então, o limite pela dentro não coincide com o valor da função no ponto, que é zero. Isso significa que a função não é contínua nos pontos onde .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, exceto nos pontos que pertencem ao círculo de raio 1, ou seja, onde . Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade é:

Exercícios relacionados

Para diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite:
Existe ?
Determine o domínio das funções abaixo:
Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se então: