Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar onde a função
é contínua e justificar isso. A função está definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde o ponto
está em relação ao círculo de raio 1 (ou seja, se
ou
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar cada caso da definição da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, precisamos verificar onde essa condição é satisfeita para a nossa função
.
Passo 3
Vamos dividir a análise em duas partes, de acordo com a definição da função:
-
Dentro do círculo (
): Aqui, a função é dada por:Para que essa função seja contínua, o denominador não pode ser zero. Vamos verificar:Então, dentro do círculo, a função está bem definida e contínua em todos os pontos, já que não temos divisão por zero ou outros tipos de descontinuidades. -
No círculo e fora dele (
): Aqui, a função é simplesmente:Uma função constante é sempre contínua, então nesse caso, a função também é contínua em todos os pontos onde.
Passo 4
Agora vem a parte mais delicada: no limite entre os dois casos, ou seja, quando
. Precisamos verificar se a função é contínua nesses pontos.
-
Valor da função no limite (
): -
Limite quando
se aproxima de de dentro do círculo ( ): Como, podemos substituir: Esse valor é diferente de zero porque. -
Limite quando
se aproxima de de fora do círculo ( ):
Então, o limite pela dentro não coincide com o valor da função no ponto, que é zero. Isso significa que a função não é contínua nos pontos onde
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano, exceto nos pontos que pertencem ao círculo de raio 1, ou seja, onde
. Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade é:
Exercícios relacionados
Para
diga se cada uma das sequências converge ou diverge e, se convergir, determine o limite:
Existe
?
Determine o domínio das funções abaixo:
Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se
então: