Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
, definida por
, cujo domínio é
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dessa função dentro de um retângulo no plano
, onde
e
. Basicamente, estamos lidando com otimização de funções em um domínio limitado.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar os pontos críticos dentro desse domínio. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são zero ou não existem. Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo
na equação
, temos
. Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar o valor da função nesse ponto crítico e também analisar os valores nas bordas do domínio. Isso é importante porque o máximo ou mínimo absoluto pode estar nas fronteiras.
Primeiro, avaliamos a função no ponto crítico:
Em seguida, vamos analisar as bordas:
- Borda onde
e :
Aqui,
varia de
a
quando
vai de
a
.
- Borda onde
e :
Aqui,
varia de
a
quando
vai de
a
.
- Borda onde
e :
Aqui,
varia de
a
quando
vai de
a
.
- Borda onde
e :
Para encontrar os valores extremos dessa função quadrática, podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice:
Então,
varia de
(quando
) a
(quando
ou
, mas como
, o máximo aqui é
).
Passo 4
Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
- No ponto crítico
: - Na borda
: mínimo , máximo - Na borda
: mínimo , máximo - Na borda
: mínimo , máximo - Na borda
: mínimo , máximo
O menor valor encontrado é
e o maior valor é
.
Resposta
O valor mínimo absoluto da função
é
e o valor máximo absoluto é
.
Exercícios relacionados
(i) Suponha que
. Existe o limite
?
(ii) Suponha que . Mostre que, se a sequência
é limitada, então
.
(ii) Suponha que
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Mostre que
Mostre que as séries
e
divergem.