Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função , definida por , cujo domínio é tal que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dessa função dentro de um retângulo no plano , onde e . Basicamente, estamos lidando com otimização de funções em um domínio limitado.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar os pontos críticos dentro desse domínio. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são zero ou não existem. Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo na equação , temos . Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar o valor da função nesse ponto crítico e também analisar os valores nas bordas do domínio. Isso é importante porque o máximo ou mínimo absoluto pode estar nas fronteiras.
Primeiro, avaliamos a função no ponto crítico:
Em seguida, vamos analisar as bordas:
  1. Borda onde e :
Aqui, varia de a quando vai de a .
  1. Borda onde e :
Aqui, varia de a quando vai de a .
  1. Borda onde e :
Aqui, varia de a quando vai de a .
  1. Borda onde e :
Para encontrar os valores extremos dessa função quadrática, podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice:
Então, varia de (quando ) a (quando ou , mas como , o máximo aqui é ).

Passo 4

Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
  • No ponto crítico :
  • Na borda : mínimo , máximo
  • Na borda : mínimo , máximo
  • Na borda : mínimo , máximo
  • Na borda : mínimo , máximo
O menor valor encontrado é e o maior valor é .

Resposta

O valor mínimo absoluto da função é e o valor máximo absoluto é .

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