Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade da função
. Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis e a continuidade delas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está definida e onde pode apresentar descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função logaritmo natural
está definida apenas para
. Isso significa que o argumento dentro do logaritmo,
, deve ser maior que zero para que a função
exista.
Passo 3
Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração
não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, devemos ter
.
Passo 4
Vamos analisar a condição
. Para que uma fração seja positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Portanto, tanto
quanto
devem ser positivos ou negativos juntos.
Passo 5
Observando o denominador
, sabemos que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Assim,
. A igualdade ocorre apenas quando
e
, mas nesse caso, o denominador seria zero, o que não é permitido.
Passo 6
Portanto,
para todos os pontos exceto
. Agora, para que a fração seja positiva, o numerador
também deve ser positivo. Assim, temos
, ou seja,
.
Passo 7
Resumindo, a função
está definida quando
e
. Isso significa que fora dessa condição, a função não está definida e, portanto, pode haver descontinuidades.
Resposta
Os pontos de descontinuidade da função
são todos os pontos onde
ou
. Em termos formais, o conjunto das descontinuidades é dado por:
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Determine o valor da constante
que torna
contínua em
.
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Determine os pontos de continuidade da função