Determine o valor da constante que torna
contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor da constante que faz a função ser contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é limites de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função :
Queremos que seja contínua em . Lembrando que para continuidade, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, quando , se aproxima de .

Passo 4

Substituindo e por e respectivamente:
Vamos simplificar isso.

Passo 5

Expandindo o numerador:
E o denominador:
Então, a fração fica:

Passo 6

Agora, ao tomar o limite quando :

Resposta

O valor da constante que torna contínua em é .

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