Determine o valor da constante
que torna
contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor da constante
que faz a função
ser contínua no ponto
. A matéria envolvida aqui é limites de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de
e igualar esse limite a
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função
:
Queremos que
seja contínua em
. Lembrando que para continuidade, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, quando
,
se aproxima de
.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
respectivamente:
Vamos simplificar isso.
Passo 5
Expandindo o numerador:
E o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 6
Agora, ao tomar o limite quando
:
Resposta
O valor da constante
que torna
contínua em
é
.
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