Determine o valor da constante c que torna
f(x, y)=rrr x^3+x y^2+2 x^2+2 y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) c, & se & (x, y)=(0,0)
contínua em (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor da constante que faz a função ser contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é limites de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função f(x, y) = x^3 + x y^2 + 2 x^2 + 2 y^2x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) c, & se (x, y) = (0,0) :
Queremos que seja contínua em . Lembrando que para continuidade, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^3 + x y^2 + 2 x^2 + 2 y^2x^2 + y^2
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, quando , se aproxima de .

Passo 4

Substituindo (r cos theta)^3 + (r cos theta)(r sin theta)^2 + 2 (r cos theta)^2 + 2 (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e por e respectivamente:
Vamos simplificar isso.

Passo 5

Expandindo o numerador:
r^3 cos^3 theta + r^3 cos theta sin^2 theta + 2 r^2 cos^2 theta + 2 r^2 sin^2 theta
E o denominador:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Então, a fração fica:
r^3 cos^3 theta + r^3 cos theta sin^2 theta + 2 r^2 cos^2 theta + 2 r^2 sin^2 thetar^2 = r cos^3 theta + r cos theta sin^2 theta + 2 cos^2 theta + 2 sin^2 theta

Passo 6

Agora, ao tomar o limite quando limr to 0 ( r cos^3 theta + r cos theta sin^2 theta + 2 cos^2 theta + 2 sin^2 theta ) = 0 + 0 + 2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 2 :

Resposta

O valor da constante que torna contínua em é .

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