Determine os pontos de continuidade da função

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando o ponto é igual a e quando é diferente. O conteúdo que vamos usar aqui envolve continuidade de funções de várias variáveis e limites. Precisamos verificar onde essa função é contínua, ou seja, em quais pontos o limite da função coincide com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos observar que a função está definida para todos os pontos , mas a definição muda quando . Portanto, a atenção principal é verificar a continuidade nesse ponto, já que para todos os outros pontos, onde a função é dada por uma expressão racional com denominador diferente de zero, ela é contínua.

Passo 3

Para verificar a continuidade de em , precisamos analisar o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Uma maneira eficiente de calcular esse limite em funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a análise.

Passo 5

Substituindo e por e , respectivamente:

Passo 6

Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 7

A expressão completa fica:
Perceba que o cancelou, e o resultado depende apenas de .

Passo 8

Agora, como pode assumir quaisquer valores, o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de . Isso significa que o limite pode ter valores diferentes dependendo de .
Por exemplo:
  • Se (caminho ao longo do eixo ):
  • Se (caminho ao longo do eixo ):

Passo 9

Como obtemos valores diferentes dependendo de (1 e -2, no exemplo), concluímos que o limite não existe. Portanto, não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

Exercícios relacionados

Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.