Determine os pontos de continuidade da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente quando o ponto
é igual a
e quando é diferente. O conteúdo que vamos usar aqui envolve continuidade de funções de várias variáveis e limites. Precisamos verificar onde essa função é contínua, ou seja, em quais pontos o limite da função coincide com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos observar que a função está definida para todos os pontos
, mas a definição muda quando
. Portanto, a atenção principal é verificar a continuidade nesse ponto, já que para todos os outros pontos, onde a função é dada por uma expressão racional com denominador diferente de zero, ela é contínua.
Passo 3
Para verificar a continuidade de
em
, precisamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Uma maneira eficiente de calcular esse limite em funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde
e
. Isso simplifica a análise.
Passo 5
Substituindo
e
por
e
, respectivamente:
Passo 6
Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 7
A expressão completa fica:
Perceba que o
cancelou, e o resultado depende apenas de
.
Passo 8
Agora, como
pode assumir quaisquer valores, o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
. Isso significa que o limite pode ter valores diferentes dependendo de
.
Por exemplo:
- Se
(caminho ao longo do eixo ):
- Se
(caminho ao longo do eixo ):
Passo 9
Como obtemos valores diferentes dependendo de
(1 e -2, no exemplo), concluímos que o limite não existe. Portanto,
não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
do plano, exceto no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.