Determine os pontos de continuidade da função
f(x, y)=rrr x^2+x y-2 y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando o ponto é igual a e quando é diferente. O conteúdo que vamos usar aqui envolve continuidade de funções de várias variáveis e limites. Precisamos verificar onde essa função é contínua, ou seja, em quais pontos o limite da função coincide com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos observar que a função está definida para todos os pontos , mas a definição muda quando . Portanto, a atenção principal é verificar a continuidade nesse ponto, já que para todos os outros pontos, onde a função é dada por uma expressão racional com denominador diferente de zero, ela é contínua.

Passo 3

Para verificar a continuidade de em , precisamos analisar o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^2 + x y - 2 y^2x^2 + y^2
Uma maneira eficiente de calcular esse limite em funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a análise.

Passo 5

Substituindo (r costheta)^2 + (r costheta)(r sintheta) - 2 (r sintheta)^2(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 e por e , respectivamente:

Passo 6

Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
r^2 cos^2theta + r^2 costheta sintheta - 2 r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + costheta sintheta - 2 sin^2theta)
Denominador:
r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2

Passo 7

A expressão completa fica:
r^2 (cos^2theta + costheta sintheta - 2 sin^2theta)r^2 = cos^2theta + costheta sintheta - 2 sin^2theta
Perceba que o cancelou, e o resultado depende apenas de .

Passo 8

Agora, como cos^2(0) + cos(0) sin(0) - 2 sin^2(0) = 1 + 0 - 0 = 1 pode assumir quaisquer valores, o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de cos^2(pi2) + cos(pi2) sin(pi2) - 2 sin^2(pi2) = 0 + 0 - 2 = -2 . Isso significa que o limite pode ter valores diferentes dependendo de .
Por exemplo:
  • Se (caminho ao longo do eixo ):
  • Se (caminho ao longo do eixo ):

Passo 9

Como obtemos valores diferentes dependendo de (1 e -2, no exemplo), concluímos que o limite não existe. Portanto, não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

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