Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis
definida de maneira diferente quando
é diferente de
e quando é exatamente
. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função não é contínua, ou seja, onde ela apresenta descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Para verificar a continuidade, vamos analisar dois casos:
-
Quando
: Aqui, a função é uma fração onde o denominador é. Como , sabemos que , então a função está bem definida e, sendo uma função racional, é contínua nesse domínio. -
Quando
: Nesse ponto, a função é definida como. Para ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual a .
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite for igual a
, a função será contínua nesse ponto; caso contrário, teremos uma descontinuidade.
Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos:
-
Caminho 1: Ao longo do eixo
(onde ): À medida quese aproxima de , tende ao infinito. Portanto, o limite não existe por esse caminho. -
Caminho 2: Ao longo da reta
(para algum ): Substituindona função: Novamente, à medida quese aproxima de , tende ao infinito (positivamente ou negativamente, dependendo do sinal de ). Assim, o limite também não existe por esse caminho.
Passo 4
Como vimos, ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, o limite da função tende a infinito ou não existe. Portanto, o limite geral de
quando
se aproxima de
não existe.
Passo 5
Já que o limite de
em
não é igual a
, concluímos que a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
O conjunto dos pontos de descontinuidade da função
é
.
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que torna
contínua em
.
Determine os pontos de continuidade da função
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.