Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis definida de maneira diferente quando é diferente de e quando é exatamente . Nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função não é contínua, ou seja, onde ela apresenta descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Para verificar a continuidade, vamos analisar dois casos:
  1. Quando :
    Aqui, a função é uma fração onde o denominador é . Como , sabemos que , então a função está bem definida e, sendo uma função racional, é contínua nesse domínio.
  2. Quando :
    Nesse ponto, a função é definida como . Para ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se esse limite for igual a , a função será contínua nesse ponto; caso contrário, teremos uma descontinuidade.
Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos:
  • Caminho 1: Ao longo do eixo (onde ):
    À medida que se aproxima de , tende ao infinito. Portanto, o limite não existe por esse caminho.
  • Caminho 2: Ao longo da reta (para algum ):
    Substituindo na função:
    Novamente, à medida que se aproxima de , tende ao infinito (positivamente ou negativamente, dependendo do sinal de ). Assim, o limite também não existe por esse caminho.

Passo 4

Como vimos, ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, o limite da função tende a infinito ou não existe. Portanto, o limite geral de quando se aproxima de não existe.

Passo 5

Já que o limite de em não é igual a , concluímos que a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

O conjunto dos pontos de descontinuidade da função é .

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contínua em .
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