Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar os pontos de continuidade da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar saber o que é uma função contínua e como identificar se uma função é contínua em todos os seus pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “quebras” ou “saltos” no gráfico dela nesse ponto. Mais tecnicamente, para funções de duas variáveis,
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa é uma função polinomial, pois é composta apenas por potências inteiras e termos multiplicados por constantes. Funções polinomiais são importantes porque, em geral, elas são contínuas em todo o seu domínio, que, nesse caso, são todos os números reais para
e
.
Passo 4
Como
é uma soma de termos contínuos (
,
, e
), e a soma de funções contínuas também é contínua, podemos concluir que
é contínua em todo o seu domínio. Não há valores de
ou
que possam fazer a função “pular” ou “quebrar”.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
do conjunto dos números reais. Ou seja, os pontos de continuidade são todos os
.
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Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das seguintes funções
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
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