Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função
é contínua, justificando sua resposta.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar onde a função
é contínua. A função dada é uma função que tem duas partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como verificar se uma função é contínua em seus pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, para toda parte da nossa função
, precisamos verificar esses três pontos para garantir que a função seja contínua.
Passo 3
Vamos analisar a função
dada. Temos duas partes:
-
Para
: Vamos simplificar essa expressão. O numeradorpode ser fatorado: Assim, a função fica:Para, podemos simplificar cancelando : Isso significa que, para todos os valores dediferentes de 3, a função se comporta como uma reta, que é contínua em todo lugar. -
Para
: Aqui, a função está definida e tem o valor 5.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade em
, porque é o ponto que pode causar problemas.
-
Primeiro, o limite quando
se aproxima de 3: Como para, simplificamos para , o limite quando se aproxima de 3 é: -
Segundo, o valor da função em
é: -
Comparando os dois:O limite quando
se aproxima de 3 é igual ao valor da função em 3. Isso satisfaz a condição de continuidade.
Passo 5
Finalmente, como a função
é uma reta (continua) para todos os
diferentes de 3 e também é contínua em
, concluímos que
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
no conjunto dos números reais.
Exercícios relacionados
Expanda as expressões.
(a) .
(a)
Efetue os produtos indicados.
.
Expanda as expressões.
.
Expanda as expressões.
.