Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua, justificando sua resposta.
(a) f(x) = { (x^2 - x - 6) / (x - 3) se x ≠ 3, 5 se x = 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar onde a função é contínua. A função dada é uma função que tem duas partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como verificar se uma função é contínua em seus pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para toda parte da nossa função , precisamos verificar esses três pontos para garantir que a função seja contínua.

Passo 3

Vamos analisar a função dada. Temos duas partes:
  1. Para :
    Vamos simplificar essa expressão. O numerador pode ser fatorado:
    Assim, a função fica:
    Para , podemos simplificar cancelando :
    Isso significa que, para todos os valores de diferentes de 3, a função se comporta como uma reta, que é contínua em todo lugar.
  2. Para :
    Aqui, a função está definida e tem o valor 5.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade em , porque é o ponto que pode causar problemas.
  1. Primeiro, o limite quando se aproxima de 3:
    Como para , simplificamos para , o limite quando se aproxima de 3 é:
  2. Segundo, o valor da função em é:
  3. Comparando os dois:
    O limite quando se aproxima de 3 é igual ao valor da função em 3. Isso satisfaz a condição de continuidade.

Passo 5

Finalmente, como a função é uma reta (continua) para todos os diferentes de 3 e também é contínua em , concluímos que é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de no conjunto dos números reais.

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