Vamos verificar se a função é contínua e derivável no ponto . A função é definida de forma diferente para , e . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto. Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto .
Passo 2
Continuidade em :
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita () e pela esquerda () deve ser igual ao valor da função em 0, ou seja:
Passo 3
Calculando o limite pela direita ():
Quando , a função é . Então:
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda ():
Quando , a função é . Então:
Passo 5
Verificando a continuidade:
Como:
A função é contínua em .
Passo 6
Derivabilidade em :
Para a função ser derivável em , as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela direita e pela esquerda.
Passo 7
Calculando a derivada pela direita ():
A função para é . Sua derivada é:
Então:
Passo 8
Calculando a derivada pela esquerda ():
A função para é . Sua derivada é:
Então:
Passo 9
Verificando a derivabilidade:
Como:
As derivadas laterais são diferentes, então a função não é derivável em .
Resposta
A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.