Vamos verificar se a função é contínua e derivável no ponto . A função é definida de forma diferente para , e . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto. Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto .
Passo 2
Continuidade em limx to 0^+ f(x) = f(0) e limx to 0^- f(x) = f(0) :
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita () e pela esquerda () deve ser igual ao valor da função em 0, ou seja:
Passo 3
Calculando o limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x^2 + sin(x)) = 0^2 + sin(0) = 0 + 0 = 0 ):
Quando , a função é . Então:
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda ( limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x^5 + 4x^3) = 0^5 + 4 cdot 0^3 = 0 + 0 = 0 ):
Quando , a função é . Então:
Passo 5
Verificando a continuidade:
Como:
limx to 0^+ f(x) = 0 = f(0) e limx to 0^- f(x) = 0 = f(0)
A função é contínua em .
Passo 6
Derivabilidade em :
Para a função ser derivável em , as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela direita e pela esquerda.
Passo 7
Calculando a derivada pela direita ( f'(x) = 2x + cos(x) ):
A função para f'+(0) = 2 cdot 0 + cos(0) = 0 + 1 = 1 é . Sua derivada é:
Então:
Passo 8
Calculando a derivada pela esquerda ( f'(x) = 5x^4 + 12x^2 ):
A função para f'-(0) = 5 cdot 0^4 + 12 cdot 0^2 = 0 + 0 = 0 é . Sua derivada é:
Então:
Passo 9
Verificando a derivabilidade:
Como:
f'+(0) = 1 neq f'-(0) = 0
As derivadas laterais são diferentes, então a função não é derivável em .
Resposta
A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.