Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
© f(x)=clx^2+sen x & , se x>0 x^5+4 x^3 & , se x<0 0 & , se x=0 x0=0

Passo 1

Vamos verificar se a função é contínua e derivável no ponto . A função é definida de forma diferente para , e . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto. Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto .

Passo 2

Continuidade em limx to 0^+ f(x) = f(0) e limx to 0^- f(x) = f(0) :
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ) deve ser igual ao valor da função em 0, ou seja:

Passo 3

Calculando o limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x^2 + sin(x)) = 0^2 + sin(0) = 0 + 0 = 0 ):
Quando , a função é . Então:

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x^5 + 4x^3) = 0^5 + 4 cdot 0^3 = 0 + 0 = 0 ):
Quando , a função é . Então:

Passo 5

Verificando a continuidade:
Como:
limx to 0^+ f(x) = 0 = f(0) e limx to 0^- f(x) = 0 = f(0)
A função é contínua em .

Passo 6

Derivabilidade em :
Para a função ser derivável em , as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela direita e pela esquerda.

Passo 7

Calculando a derivada pela direita ( f'(x) = 2x + cos(x) ):
A função para f'+(0) = 2 cdot 0 + cos(0) = 0 + 1 = 1 é . Sua derivada é:
Então:

Passo 8

Calculando a derivada pela esquerda ( f'(x) = 5x^4 + 12x^2 ):
A função para f'-(0) = 5 cdot 0^4 + 12 cdot 0^2 = 0 + 0 = 0 é . Sua derivada é:
Então:

Passo 9

Verificando a derivabilidade:
Como:
f'+(0) = 1 neq f'-(0) = 0
As derivadas laterais são diferentes, então a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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