Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
©

Passo 1

Vamos verificar se a função é contínua e derivável no ponto . A função é definida de forma diferente para , e . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto. Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto .

Passo 2

Continuidade em :
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ) deve ser igual ao valor da função em 0, ou seja:

Passo 3

Calculando o limite pela direita ( ):
Quando , a função é . Então:

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Quando , a função é . Então:

Passo 5

Verificando a continuidade:
Como:
A função é contínua em .

Passo 6

Derivabilidade em :
Para a função ser derivável em , as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela direita e pela esquerda.

Passo 7

Calculando a derivada pela direita ( ):
A função para é . Sua derivada é:
Então:

Passo 8

Calculando a derivada pela esquerda ( ):
A função para é . Sua derivada é:
Então:

Passo 9

Verificando a derivabilidade:
Como:
As derivadas laterais são diferentes, então a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

Exercícios relacionados

Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função é contínua. Justifique.
©
Determine o domínio da função .
Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(g)
(obs: , para todo )
Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(k)